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徐利治

徐利治,数学家。致力于分析数学领域的研究,在多维渐近积分,无界函数逼近以及高维边界型求积法等方面获众多成果,并在我国倡导数学方法论的研究。

徐利治,原名徐泉涌,教授。1945年毕业于西南联合大学数学系。次年加入中国共产党。1949年、1950年先后在英国亚贝丁大学、剑桥大学学习。1951年回国。历任清华大学副教授,吉林大学教授、教务长,华中工学院(华中科技大学)数学系教授、系主任,大连工学院教授、应用数学研究所所长。在渐进分析、逼近论方面取得重要成果,在国际上被誉为“徐氏渐进公式”、“徐氏逼近”,1985年获国家教委科技进步奖二等奖。著有《渐近积分和积分逼近》、《高维的数值积分》、《数学方法论选讲》,合著《函数逼近的理论与方法》。

1940年  入西南联合大学数学系。

19451946年 任西南联合大学数学系助教。

19461949年 任清华大学助教、教员。

19491951年 获英国文化委员会奖学金赴英国访问、进修。

19511952年 任清华大学数学系副教授,兼北京师范大学数学系副教授。

19521980年 任吉林大学(原东北人民大学)副教授、教授,数学系副主任,教务长兼教务处长。

1981年 任大连理工大学应用数学研究所所长,兼华中理工大学数学系主任,兼吉林大学教授。

19851986 年获美国国家科学基金会(NSF)资助赴美参加科学合作研究。

19861987年 任美国得克萨斯州A&M大学客座教授。

1987年任 中国科学院数学研究所学术顾问,南开大学数学研究所学术委员和中国数学会组合数学与图论委员会主任。

1988年 担任中国组合数学研究会第一任理事长。

徐利治,出生于江苏省沙洲县(今张家港市)东莱乡一个普通木匠家庭。10岁时父亲去世,由母亲帮人做衣维持生活。14岁以年级第一名的成绩毕业于小学,考上全部公费的江苏省立洛杜乡村师范学校。他在校期间成绩优异,并博闻广读,自学《查理斯密大代数》,开始钻研数学经典。许多数学名家的传记故事对他后来从事数学研究颇有启示。抗日战争初始,徐泉涌来不及回故乡,与同学结伴向西南逃亡。1938年考入贵州铜仁国立第三中学师范部。他在生活十分艰苦的条件下发奋读书,尤其热爱数学,做了不少难题,1940年毕业后即以高中同等学历考取西南联合大学数学系。报考大学时,徐泉涌将自己的名字改为徐利治。

入大学不久,由于经济原因,徐利治不得不暂时休学,到四川重庆中学教书。一年后返回大学。当时的西南联合大学人才荟萃,徐利治直接受业于华罗庚、许宝等著名教授门下,得益匪浅。他悉心钻研数学名著,参加数学讨论班,接触到研究工作前沿,学会独立思考问题。大学期间他就写出4篇专业研究论文在国际数学杂志上发表。1945年毕业时被华罗庚教授举荐,留在西南联合大学任其助教。

1946年,组成西南联合大学的三所大学(北京大学,清华大学,南开大学)分别迁回北京(当时称北平)和天津。徐利治应聘到北京清华大学任助教。在当时的清华大学,一般人要任六七年助教才提为教员,但徐利治只用了不到3年时间便由助教升为教员。在此期间他相继发表了一批有国际影响的论文。1949年北平解放前夕,徐利治获得了英国文化委员会的奖学金,作为当年该奖学金资助中唯一一名数学研究人员,赴英国阿伯丁大学和剑桥大学访问进修各一年。1951年回国后,担任了清华大学数学系副教授,同时兼任北京师范大学数学系副教授。

1952年,为了支援东北的文化建设,徐利治同王湘浩江泽坚等人一起自愿去到长春,在原东北人民大学组建了数学系,徐利治任数学系副主任。他每年至少讲授两门数学专业课,从1954年起还创办函数逼近论讨论班,培养了一批从事该方面研究的专门人才,他本人也在渐近分析与函数逼近论等方面取得一定成果。1956年被提升为正教授。

1956年春徐利治作为中国科学院三人代表团成员参加了莫斯科全苏泛函分析及其应用会议。回国后他在东北人民大学数学系创办计算数学专业,与苏联专家合作开设了全国计算数学的第一个培训班,培养出从事计算数学研究的首批专业人员。1958年东北人民大学更名为吉林大学。80年代初吉林大学计算数学专业成为国内第一批博士授权点,徐利治成为国内首批博士生指导教师,这与他当时奠定的基础是分不开的。

1961年徐利治受聘为美国《数学评论》杂志的特约评论员。此时他已发表了50多篇学术研究论文,出版了两部专著。但几年之后,“文化大革命”开始了,正常的教学和科研陷于瘫痪,徐利治就躲在家里潜心研究学问。1970年他被送到吉林省长岭县插队落户,在繁忙劳作之余仍孜孜不倦地钻研数学,先后在国外发表了数篇有创见性的论文。1975年9月他重返吉林大学执教,很快又倡议办起了非标准分析讨论班,并担任主讲。

从1980年起,徐利治除在吉林大学任职外,还在大连理工大学(原大连工学院)和华中理工大学(原华中工学院)兼职。1981年大连工学院成立应用数学研究所,徐利治担任了首任所长,同时兼任华中工学院数学系主任。是年,在大连工学院和华中工学院两校领导的支持下,他创办了全国性专业杂志《数学研究与评论》,并成为首任主编。也是在这一年,大连工学院和华中工学院两校成为国家教育部批准的硕士授权点。1984年徐利治成为大连理工大学博士生指导教师。

1981年8月徐利治赴西德汉堡参加了第九届国际运筹学会议,次年7月又得到西德科技促进会的资助,到波恩参加了国际数学规划会议,并在会上作了中国东北运筹学发展情况的报告。1983年1月他作为中国逼近论代表团团长,去美国参加了在德克萨斯举办的国际逼近论会议。大会单独为他提供经费,并请他作了1小时的全会报告,介绍中国在逼近论方面近年来的发展概况。会后他还应邀到西弗吉尼亚大学、匹兹堡大学和斯坦福大学短期访问,并作学术报告。1985年6月他取得美国国家科学基金的资助。赴美进行科研合作。其间他参加了在加拿大埃德蒙顿举行的国际逼近论会议和在哈里法克斯举行的数值积分高级研究会。1986年夏他又受聘为美国德克萨斯州A&M大学客座教授。1987年初再赴加拿大曼尼托巴大学和里金纳大学访问讲学。

早在40年代中期,徐利治就开始了渐进分析学的研究。当时的经典(即一维的)拉普拉斯(Laplace)渐近积分方法是古典概率统计的重要方法,但到20世纪中叶,数学研究已从一元向多元发展,在应用技术中出现的问题也往往是多元的。徐利治为了解决多元问题,将拉普拉斯渐近积分方法拓广到高维情形,建立了边界型(极值点出现在边界上)与隐参数型两类多维渐近积分公式。该式在50年代后被应用于多元统计学中,成为一个重要工具。他还得到一维激烈振荡型积分的渐近展开。和高维激烈振荡型积分的渐近展开,并在《美国数学杂志》、英国《数学季刊》、《中国科学》、《数学学报》等专业杂志上发表十几篇有关论文。这些论文常为国外学者引用,一些物理学家还将其成果用于他们的专业研究。当代数学名家L.贝尔格(Berg)、E.里克司廷斯(Riekstens)、G.阿斯科利(Ascoli)等人在各自的论文或专著中都介绍了徐利治的“渐近积分定理”和“展开定理”,德国数学家R.黎德尔(Riedel)在作博士论文时还将推广徐利治的渐近积分定理作为选题。

徐利治对高阶零差(第二类斯特灵(Stirling数)得到一类完全渐近展开,英美等国数学家F.N.大卫(David)、D.E.巴顿(Barton)、L.莫瑟(Moser)和M.外曼(Wyman)等人在专著中将徐利治1948年提出的高阶零差渐近展开公式称为“徐氏逼近公式”,与之有关的一类数被命名为“凯莱-徐氏(Cayley-Hsu)数”

C(n))r=Sr(-n,1)(广义斯特灵数).对这一类数,大卫和巴顿还造了数值表,以供统计学家参考之用,直到1990年国外仍有数学家在此基础上作这方面的推广工作。

徐利治将他多年的研究成果汇成专著《渐近积分与积分逼近》,1958年由科学出版社出版,这是国内第一部有关多维渐近积分研究的专题著作,出版后受到欢迎,1960年修订再版,成为该专业科研与教学的主要参考书,亦常为国外同行引用。

50年代后期,徐利治开始从事逼近论研究,在数值逼近与函数逼近方面发表了一系列文章。作为“数值方法”的补充,他于1958-1961年曾创用高维数值积分的“三角逼近法”,其特点是关于“极值系数”的选取较为简易,而对一类函数却能达到较高精度,因而受到国外学者的注意,成为数值计算工作者的有用工具。美国数值分析专家I.图德(Tood)等人在总结性报告中均提到他用线积分逼近多重积分的工作。

19世纪后期,俄国数学家П.Л.切比雪夫(Чебышев)建立了函数逼近理论,后由其同胞C.H.伯恩斯坦(Бернштейн)、P.A.霍洛多夫斯基(Xололовский)扩展到无界函数的逼近中。受此启发,徐利治于1961年在《利用正线性算子或多项式对无界连续函数的逼近》(发表于波兰《数学研究》)一文中对无界函数逼近研究作出新的推进,提出“扩展乘数法”,为从根本上解决无界域上的无界函数的多项式算子逼近问题开辟了道路,被国外学者称为“徐氏技巧”。在此基础上他又与王仁宏合作,系统发展了这一方法,达到较为完善的程度,得到国内外同行的公认。他与合作者在数值积分(包括函数逼近论)和数值逼近方面的成果于1982年获中国国家自然科学三等奖。许多数学家引用扩展乘数法解决了逼近论中一系列具体问题,直至最近国外还有人以改进他在该方法中提出的一条基本定理而作为博士论文起点,足见其影响之深远。

1960年徐利治最先对线性算子半群理论中十分基本的“希尔(Hille)第一指数公式”作出定量估计。

原公式仅对收敛性质进行了判断,而徐利治给出的逼近估计定理可从收敛程度上进行刻划,对于逼近论有较好的应用价值,启发引导了Z.迪茨恩(Ditzian)、P.L.布策(Butzer)、D.法埃弗(Pfeifer)等人在60-80年代的许多工作。此外徐利治给出的广义兰道(Landau)多项式算子被国外学者称为“兰道-徐氏多项式”,德国数学家E.赫劳卡(Hlawka)将这类多项式用于随机逼近,效能颇佳。

50年代末,徐利治已注意到数值积分中激烈振荡函数近似积分法中存在的问题。60年代初,他利用线积分逼近多重积分的方法发展了激烈振荡函数积分法,引起国内外同行的重视。后来他与助手一起在振荡积分近似计算方面做了一系列工作,得到许多新的计算方法。

1963年徐利治首次提出“降维展开法”,用以解决一大类高维边界型求积公式的构造问题,开创了高维数值积分研究的新方向。这是在冶金、采矿等领域有广阔应用背景的研究课题,可以通过对固体表面信息的分析了解其内部构造,导致积分区域边界研究。以前对一般高维边界积分无普遍方法,徐利治提出的方法不仅有普遍适应性,还可以达到任意指定的精度,现已成为数值积分理论中的主要方法之一。他的专题论著《高维数值积分》1963年由科学出版社出版,1980年又与合作者出版了增订本。1964年徐利治进行方程求根方法研究时发现了一种“大范围收敛迭代法”(后来国际上称为“平方根迭代法”)。

在吉林大学计算数学讨论班上作了专题报告,并油印散发至一些高等院校。但文章未及整理发表便开始了“文化大革命”,直到1973年,这一方法才以《关于一个迭代过程的无条件收敛性》为题在《美国数学会通告》上发表。此时距他初始发现该方法已过去9年。巧合的是瑞士数学家A.M.奥斯特洛夫斯基(Ostrowski)在同一年出版的再版书中也开始提出了同类的方法,后来人称“奥斯特洛夫斯基方法”。事实上,徐利治的方法中应用了“阿达马(Hadamard)因子分解定理”,所得到的结论更广泛。“大范围收敛迭代法”是数值分析中最早的迭代法,也是计算超越整函数一切实零点的有力工具,已成为国内外数值分析专家研究的出发点,并引出一系列成果。徐利治与其合作者在此项研究中又发表了十几篇论文。1986年5月他与助手及合作者因数值逼近与计算方法方面的工作获中国国家教育委员会颁发的科技进步奖二等奖。

组合数学是徐利治从事数学研究最早涉及的学科,他最初发表的4篇论文都是涉及组合数学的。后来他用组合分析方法研究概率论和高次零差的渐近展开,取得有用成果。

60年代中期徐利治研究互逆变换问题,提出寻求一类对称反演公式的一般方法。1965年他反复研究美国数学家H.W.高尔德(Gould)的多篇学术论文后,发现可以用一种级数反演公式概括高尔德的一系列反演关系,使其每个公式都成为这一新公式的特例,于是便写信与高尔德进行讨论,开始了两人的合作研究。1973年他们联名发表了《若干新的反演级数关系》一文,提出了“高尔德徐氏反演公式”。

这是中美关系正常化开始后发表的第一篇中美学者合作的论文,引起人们的广泛注意。第二年徐利治又连续在国外发表两篇关于对称反演的论文摘要,分别对级数交换和积分变换的对称反演公式作了论述,受到国外同行的重视。美国数学家D.E.克努什(Knuth)等人合编的《算法分析的数学》(1981)第一章就介绍了徐利治1965年发现的反演公式,这表明他在国际组合数学界具有相当的知名度。

60年代后期,非标准分析问世。国内外有些学者认为它的意义不大,徐利治却敏锐地看到它的应用前景。他除了鼓励年轻人从事这项研究外,还以此为工具,于1983年建立起广义的麦比乌斯(M?bius)反演理论,得到了普遍的反演公式。

把离散数学中的广义麦比乌斯-罗塔(Rota)反演公式和微积分基本定理以及卷积型积分方程的求解公式都作为特例包括进去,为非标准分析这一新兴学科找到新的应用领域。

作为一名数学家,徐利治的研究范围较宽。他兴趣广泛,善于创新,人至耆年,仍不断吸取新的思想,拓出新的研究领域。1980年他提出了“双向无限”的原则,刻划数学无限过程的矛盾本性,从而在西方数理哲学界“潜无限”与“实无限”的传统争论之外,提出解决问题的新方案。1985年他又首次提出数学抽象度概念与抽象度分析法、为数学真理性与抽象性研究独辟计量刻划的新途径。

徐利治多方面的’成就与他早年喜爱哲学有关。他一直应用哲学思想指导科学研究,坚持辩证唯物主义方法论,分析数学概念发展的矛盾转化过程,从个性中寻求共性,常常高屋建瓴地从个别概念中抽象出新的普遍概念,从特殊结论中提炼出一般结论。他熟谙阿达马的数学发明心理学和G.波伊亚(Pólya)的解题方法论,坚信数学的客观性,提出数学直觉在数学研究中的基本作用,首次归纳出关系映射反演的一般原则,详细论述了悖论与数学基础问题的关系。他多次倡导数学方法论对数学研究的重要意义,第一个在国内开设了数学方法论课程。他的专著《数学方法论选讲》1983年出版后即刻成为该项研究的经典性读本。1988年他又担任了《数学方法论丛书》主编,与合作者出版了《关系映射反演方法》、《数学抽象方法与抽象度分析法》等专著。时至今日,数学方法论已有众多研究人员和若干分支体系,成为研究数学研究本身的“数学学”。

从40年代中期算起,徐利治执教近50年,教授过一大批本科生和研究生其中有不少人已成为著名的专家学者。他教学条理清晰,层次分明,深入浅出,论证严格,富有启发性,深受广大师生的欢迎和好评。近几年他还在逼近论和组合数学两个方向培养了一批博士研究生。至1991年暑假前,已有8人获得博士学位,其中的5人在中国科学院系统科学研究所、南开大学数学研究所等处作博士后,有的已完成博士后研究工作,并且有3位在国内外数学界已崭露头角。

《数学分析的方法及例题选讲》是徐利治早期编写的教学参考书.1955年由商务印书馆出版后受到广泛欢迎,很快便由高等教育出版社于1958年重新印刷发行,并且20多年后仍然保持其特有的教学参考价值。1983年该书由徐利治和王兴华合作修订出版后,再度受到广泛欢迎,1088年荣获中国国家优秀教材奖。此外他还写过《计算组合数学》、《应用解析数学选讲》、《微积分大意》等许多深入浅出的数学论著,这些论著尤为当代青年所喜爱。

徐利治是一位和蔼宽厚的导师,他平易近人,学术民主,教学循循善诱,科研一丝不苟,因此深得学生的欢迎与尊敬,成为学生们的良师益友,忘年之交。他向学生传授知识毫无保留,并要求学生博采众长,广泛学习。他乐于助人,宽以待人,对中青年教师和助手悉心指导,使他们迅速成长起来;他对青年数学爱好者谆谆教诲,鼓励他们开展数学研究,其学者风范堪称楷模。他是合作者最多的数学家之一,在他周围已形成数学研究的集体。

徐利治注重才学,淡泊名利。50年代时他的学生朱梧跟随他进行数学基础研究,两人合作发表了几篇文章。后来朱梧被错划为右派遣返回乡。徐利治在自己生活并不宽裕的情况下,经常寄钱资助其生活,还写信勉励他继续学术研究,两人共通信数百封。1979年朱梧被平反后,他们还合作发表过多篇研究论文。徐利治曾被错划为右派,在“文化大革命”期间也遭停职、降薪的磨难。1980年被平反后,他即将补发的1000多元工资全部上交组织。19811982年他又曾两次将国外资助他出国开会所节余的一半以上的外汇上交国家,体现了一位学者的高风亮节。

1990年是徐利治70诞辰,吉林大学、华中理工大学、南京大学、哈尔滨工业大学等十几所院校的领导和教师专程赶到大连为他祝寿。人们赞扬他奇葩满园、桃李天下的功绩,也殷切祝愿他身体健康、勋业无量的未来。年逾古稀,徐利治虽然一生历经坎坷,但由于他心胸开阔,性格豁达,至今仍保持健康的体魄。他继续以饱满热情和旺盛的精力进行工作,为数学研究和数学教育事业的发展贡献着力量。

渐近分析(渐近积分与渐近展开)是徐利治早年就开始的研究领域.1948年到1951年间他在美国、英国发表的成果,经常被国外学者(包括物理学家)引用.阿斯柯里(G.Ascoli)、贝尔格(L.Berg)、里克司廷斯(E.Riekstens)等人的论文与专著中,专门介绍了他的“渐近积分定理”和“展开定理”.东德黎德尔(R.Riedel)的博士论文的选题就是专门推广徐的两条积分渐近定理.在英国和美国数学家大卫(David)、巴顿(Barton)、莫瑟(Moser)、外曼(Wyman)等人的著作中,把他的高次零差的渐近展开公式称为“徐氏逼近公式”,与之有关的一类数被命名为“凯雷-徐氏数”(Cayley-Hsunumbers),对此,大卫和巴顿还造了数值表以供统计学家参考之用.徐利治在渐近分析方面的论文有18篇、专著有《渐近积分和积分逼近》(科学出版社,1958,1960).

逼近论(数值逼近与函数逼近)方面的工作,他从50年代开始一直持续到现在.美国数值分析专家图德(Tood)和斯乔德(Stroud)等人在综合性报告中均提到徐利治用线积分逼近多重积分的工作;徐提出了解决无界函数逼近的“扩展乘数法”,此法被国外引用的次数最多,直至最近国外还有人在博士论文中改进徐的一条基本定理,国内发表研究此法的则有王仁宏等人;徐利治最先给出了关于线性算子半群理论中著名的Hille第一指数公式的定量形式,该公式对于逼近论具有应用价值,由此导致迪虔(Ditzian)、布策尔(Butzer)、法埃佛(Pfeifer)的许多工作;徐给出的广义兰道(Landan)多项式算子被国外学者称为“兰道-徐氏多项式”,德国数学家赫劳卡(Hlawka)还把这类多项式用做随机逼近的漂亮工具.徐在这方面发表了20余篇论文并和合作者出版了两本著作:《函数逼近的理论与方法》(上海科技出版社,1983)、《逼近论方法》(国防工业出版社,1986).

数值积分方面,徐利治的工作也是从50年代开始的.他发展了激烈振荡函数积分法,概括了前人的许多成果;首先提出了“降维展开法”用以解决一大类高维边界型求积公式构造法问题.徐在这一领域里撰写论文20余篇,著书两本:《高维数值积分》(科学出版社,1963,1980)、《高维数值积分选讲》(安徽教育出版社,1985). 互逆变换(级数变换与积分变换的反演)方面,徐利治提出了一套独特的方法,亦即应用自反函数的方法,这一普遍方法能用来解决L可积函数的自反积分变换问题,而华生、(Watson)变换不能处理这种问题.正如前述,1965年徐发现的级数反演公式概括了高尔德的一系列反演关系,这可以应用于算法分析和插值方法中,美国数学家克努斯(Knuth)等人合编的《算法分析的数学》第一章中介绍了“高尔德-徐氏公式”.在这方面徐写了12篇论文.

组合分析方法,是徐利治最早开始的研究领域,大学时代在美国杂志上发表的两篇处女作就是这方面的工作.后来徐对麦比乌斯反演作了大量研究,并且用组合分析研究概率论,用组合分析研究高次零差的渐近展开.这方面的论文有13篇,著作两部:《计算组合数学》(上海科技出版社,1983)、《组合数学入门》(辽宁教育出版社,1985).

计算方法方面,徐利治的主要工作是插值法和求根迭代法的研究.1964年由他首先发现的平方根迭代法,是具有大范围收敛性的求超越方程实根的方法.这项成果曾在当年吉林大学计算数学讨论班上报告过.但由于“文化大革命”的影响,未能及时发表,直到1973年才与瑞士数学家奥斯特洛夫斯基(A.M.Ostrowski)同时发表.此法后来成为欧美和国内不少数值分析家研究的出发点,并引出一系列结果.徐在这方面的有关论文计有12篇.

非标准分析方面,徐利治把它作为研究工具,建立了广义的麦比乌斯反演理论,得到了普遍的反演定理,把离散数学中的广义麦比乌斯-罗塔(Rota)反演公式和微积分基本定理以及卷积型积分方程的求解公式都作为特例包括进去了.该工作于1983年发表后,引起葡萄牙里斯本(Lisbon)数学中心学者高耳多维尔(Gor-dovil)的注目.徐在这方面的论文有4篇.

数学基础方面,徐利治首先研究了数学真理性数量上把握的问题,首次提出了数学抽象度问题,研究了超穷数论和悖论等问题.他在1980年提出的“双相无限”的原则,刻画了数学无限过程的矛盾本性,从而在西方数理哲学界“潜无限”与“实无限”两大派别的传统争论之外,提出了解决问题的新的方案.徐在这方面和他的合作者发表了9篇论文.

其他方面,如数论、数学方法论、数学教学体系的改革等方面,徐利治也做了大量研究.例如在数论上他举出反例解决了匈牙利数学家埃尔德斯于1956年提出的等差数偶问题.徐在这些方面撰写论文20余篇,著书三本:《数学分析的方法及例题选讲》(高教出版社,1955,1984)、《应用解析数学选讲》(吉林人民出版社,1983)、《数学方法论选讲》(华中工学院出版社,1983)。

徐利治之所以在国际数学界能有一定影响,是与他始终坚持研究工作并不断取得新成果分不开的。至1991年初’他共出版专著近20种,发表论文计150余篇。他受聘为中国科学院数学研究所学术顾问,南开大学数学研究所学术委员和中国数学会组合数学与图论委员会主任;担任国际性英文刊物《逼近论及其应用》杂志副主编,《高等学校计算数学学报》名誉主编,以及德国《数学文摘》杂志评论员。1988年英国剑桥国际传记中心将他列入国际知识界名人录和太平洋地区名人录。1989年美国传记研究所又将他列入杰出领导人物国际名人录。

徐利治性格外向,热情爽朗,兴趣广泛.这些性格特征反映在学问上,则是涉猎面广泛,研究成果带着浓厚兴趣的烙印,论文流畅明朗,绝少晦涩的特点。

徐利治研究的面是比较广的,而且对涉及领域的研究深度也是可观的.如果仅仅从他的功底深、兴趣广、才能强等去寻找答案,那就可能流于表面地看问题了.正如陆游谈诗时指出的“功夫在诗外”,徐利治数学上的造诣也应从数学之外寻找答案.这除了可以找到他的非智力因素如志向、毅力、兴趣等这些成大器必备的素质,还在于他有一个博大精深的学术思想体系,包括数学教育思想、数学科研方法,以至数学美学观、数学哲学论等,形成一个完整的数学系统论介于哲学与数学科学之间的一般方法论.不无遗憾的是,数学系统论只是潜隐在为数较少的“战略”兼“战术”型的数学家头脑中.如果能将其抽取出来,系统地整理,奉献于世,其意义将不可估量.

徐利治教授正诚心竭力地做着这件事,他不仅在数学基础的研究上涉及哲学,而且用哲学思想指导科学研究.他娴熟地分析概念发展的矛盾转化过程,善于发掘寓于个性中的共性,常常高屋建瓴地从个别概念中抽象出普遍概念,从特殊结论中提炼出一般结论.他坚信数学的源在于客观世界,而前人的成果只是数学的流;他认为美不仅是文学家、艺术家的专利品,美也是数学探索的最佳境界.他分析了数学中的和谐美与奇异美,指出:“真是美的,而美未必真.”并且身体力行,用作为必要条件辅助检验数学成果的真伪.一方面他提出:数学直觉=美的直觉+关系直觉+真伪真觉;另一方面,他对数学创造力又补充了心理学家们提出的逻辑积公式:创造力=发散思维能力×透视本质能力×有效知识量.徐笃信波利亚(Polya)关于数学知识具有“演绎与归纳二重性”的观点,大力推行他的教育思想.徐不仅重视严格推演的逻辑思考过程,而且善于运用依据数值计算的直觉判断方式.他针对数学发展中比比皆是的通过映射手段、反演求解的现象,首次归纳出关系、映射、反演一般原则,即所谓RMI原则,它具有一般方法论上的指导意义.在国内,他首先开设数学方法论课程,并撰写成书,这决不是把哲学方法论在数学研究上具体化的简单对号,而是数学与研究方法的水乳交融,其中凝结着“吃草、反刍、消化”等一系列心血经验的结晶.在数学教学上,他十分强调“表现知识发生过程”的课程教学和相应教材,以利于培养学生的创造性;他倡议学数学的要学好文学、关心艺术,因为这不仅是提高文化素质的手段之一,而且在于数学研究与文学、艺术的创造有许多内在的相通之处,这有利于想象力、创造力的发挥.

不难看出,徐利治的知识广博与其兴趣的广泛和博览群书密切相关.其实,他的广博的成果基于他“提纲”(以数学系统论为纲)“挈领”(数学诸领域)地建造了自己的知识结构.

华罗庚曾说过:“在我的众弟子中,徐利治的研究领域是最广的,思想也是最活跃的.”华的评价是恰当的.然而,论及弟子,徐利治只是华罗庚的一般学生,正如徐也是许宝、钟开莱等人的学生一样.严格讲,徐利治无师无导师,只有老师.相形之下,今天的年青人令人羡慕,他们有硕士导师、博士导师,而年青时的徐利治则没有导师,他寻找课题、确定方向、研究投稿,全是自己完成的.没有依靠任何一棵“大树”来“乘凉”.后来,徐也是完全靠自己的学识找到了那么多研究方向,取得了大批成果.

尽管徐本人无导师,但是他的“嫡传”弟子却有他这样一位和蔼可亲的导师.徐利治平易近人,没有架子,讲究学术民主,学问上不保守,瞧不起知识私有的悭吝之气.他深信知识是属于全人类的,对求教者毫无保留.在弟子眼中,他是良师益友、忘年之交.他还要求年轻人不要只向一位老师学习,而要博采众长.他对中青年教师进行科研与教学指导,他亲自带的中青年助手进步很快,如王仁宏、朱梧、林龙威等人,其中王仁宏已是博士导师.1982年,徐利治、王仁宏、梁学章、周蕴时研究的“数值逼近与数值积分”获国家自然科学三等奖.徐利治对于不是自己弟子的中青年知识分子也十分热情,在学术上指导、帮助他们解决困难,乐于同他们合作.杭州大学中年博士导师王兴华与徐利治交往甚厚,徐与王合著的再版《数学分析的方法及例题选讲》获1988年国家优秀教材奖.西安地区逼近论讨论班,也一直得到徐利治的通信指导.

朱梧一毕业就被徐利治留校做助手.后来朱被错划为“右派”,遣送回江苏老家.徐利治虽身处逆境,工资又降了两级,可仍然经常寄钱给他资助其生活.他们书信往来400多封,谈思想、谈学问.他们有共同的成果.由于徐利治研究面广、学术民主和为人随和,导致他的合作者很多.

徐利治在学术上有这么几个特点:思想敏感,善于捕捉发展方向.例如:他60年代就强调逼近论应搞多元和显式结构,后来该领域国际上的发展表明他的观点是超前的;他兴趣广泛,喜欢浏览别人的工作,但思想又不受别人束缚,做到“进入内,出于外”;他思想不保守,乐于支持新生事物.例如,国内外有些学者认为模糊集合论“肤浅”、“无价值”,认为非标准分析“意义不大”,而徐利治则透过这门学科还没有拆掉的“脚手架”,看到了它们的远大前景,鼓励年轻人从事这方面的研究;他工作起来专心致志,却又富于类比,善于联想,集“发散思维”与“收敛思维”于一身;他不怕计算,很有耐心地从繁复的计算中归纳规律,验证结论.

他的成功要诀在于:青少年立志.而贫寒的家境、纷乱的年代又砥砺了他的意志,使之更坚,而学习的兴趣则从另一方面强化了他的意志;自学能力的培养,使他在课堂学习之外,打下了坚实的基础,尤其阅读一些数学上的经典著作,受到熏陶,能力随知识的积累得到增长,学习中创造性得以增强;及时地在人生的叉路口以顽强的毅力抓住了机会.他兴趣广泛,思想活跃,永远站在高处,时刻让生动新鲜的学术观点指导自己的研究.

1 徐利治.数学分析的方法及例题选讲.北京:商务印书馆,1955.(高等教育出版社,1958年重印.1983年修订版与王兴华合作.)

2 徐利治.渐近积分与积分逼近.北京:科学出版社,1958.(1960年第二版.)

3 徐利治.高维数值积分.北京:科学出版社,1963.(1980年增订版与周蕴时合作.)

4 徐利治等.函数逼近的理论与方法.上海:上海科学技术出版社,1983.

5 徐利治等.计算组合数学.上海:上海科学技术出版社,1983.

6 徐利治.数学方法论选讲.武汉:华中理工大学出版社,1983.(1988年第二版.)

7 徐利治等.逼近论方法.北京:国防工业出版社,1986.

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