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同态

假设M,M′是两个乘集,也就是说M和M′是两个各具有一个封闭的具有结合律的运算*与*‘的代数系统。σ是M射到M′的映射,并且任意两个元的乘积的像是这两个元的像的乘积,即对于M中任意两个元a、b,满足σ(a*b)=σ(a)*’σ(b);也就是说,当a→σ(a),b→σ(b)时,a*b→σ(a)*’σ(b),那么这映射σ就叫做M到M′上的同态。

假设M,M′是两个乘集,也就是说M和M′是两个各具有一个封闭的具有结合律的运算*与*‘的代数系统。σ是M射到M′的映射,并且任意两个元的乘积的像是这两个元的像的乘积,即对于M中任意两个元a、b,满足σ(a*b)=σ(a)*’σ(b);也就是说,当a→σ(a),b→σ(b)时,a*b→σ(a)*’σ(b),那么这映射σ就叫做M到M′上的同态。

如果 σ 是单射, 则称为单同态;如果 σ 是满射,则称为满同态。如果σ是双射, 则称为同构。如果M, M'都是群, 那么同态也叫做群同态 [1]

设E与F为两个群胚,它们的合成法则分别记为⊥与。 称从E到F中的映射f是群胚同态,如果对于E的任一元素偶(x,y),有:

设G为乘法群,而a为G的元素。由关系f(n)=an所定义的从加法群Z到G中的映射f是群的同态。

设A与B为两个环(两个体),称从A到B中的映射f是环(体)的同态,如果f是加法群的同态,且为乘法么半群的同态. 这就是说,对A的任一元素偶(x,y),有f(x+y)=f(x)+f(y)f(xy)=f(x)f(y),并且f将A的单位元变成B的单位元。

例如,设n为非零自然数;使任一有理整数对应其对模n的剩余类映射是从环Z到环Z/nZ上的同态。设E与F为两个A-代数(两个酉A-代数)。称从E到F中的映射f是A-代数(酉A-代数)的同态,如果它是线性映射,并且是乘法群胚(乘法幺半群)的同态。

例如,设E为交换体K上的非零有限n维向量空间,而B为E的基。则从E的全体自同态之酉代数(E)到K中元素构成的全体n阶方阵之酉代数Mn (K)中的映射,如果该映射使E的任一自同态对应它在基B中的矩阵,则这一映射是酉代数的同态。

同态的概念能用抽象的方式加以推广。

范畴论的基本概念之一。称C是一个范畴,是指C满足下述六点:

1.C有一个对象类{A,B,C,…}(不要求它是一个集合,即不要求它满足集合论的公理,只要求能判别出是不是它的对象),常记为ObjC或简记C。

2.对C的任两对象A,B,有一个确定的集合(可为空集)Hom(A,B),其元素称为由A到B的态射,记为f∈Hom(A,B)或f:A→B。

3.对给定的f∈Hom(A,B)与g∈Hom(B,C)有惟一的gf∈Hom(A,C),称为f与g的合成。

4.Hom(A,B)与Hom(C,D)有公共元是指A=C且B=D。

5.态射合成满足结合律。

6.对C的任意对象A,Hom(A,A)至少有一个元素εA使对σ∈Hom(A,B)恒有σεA=σ=εBσ,称εA为A的恒等态射(εB为B的恒等态射)。

例如,以一切集合作对象,以集合映射作态射,则得集合范畴Set(简称集范畴)。以一切拓扑空间作对象,以连续映射作态射,则得拓扑空间范畴Top。以一切环为对象,以环同态作为态射得环范畴Ring。类似地,可得群范畴Group,阿贝尔群范畴AG,环R上的左R模范畴RM等。以自然数为对象,a|b(表示a整除b)时定义Hom(a,b)有惟一元素φab,ab时定义Hom(a,b)=(空集),也得到一个范畴。一般地,对每个拟序集都可仿此定义范畴。

两个环之间的一种映射。设φ是环R到R′的一个映射,若它保持环的加法和乘法运算,即对任意a,b∈R有

φ(a+b)=φ(a)+φ(b); φ(ab)=φ(a)φ(b),

则称φ为R到R′的同态。在φ下R在R′中的像集记为Imφ,称为φ的同态像。R中一切在φ下的像等于零的元素的集合,记为ker φ={x∈R|φ(x)=0},称为φ的同态核。若Imφ=R′,即对R′中任意元a′恒存在R中元a使得φ(a)=a′,则称φ为R到R′的满同态,或称为R到R′上的同态,简称R同态于R′,记为R~R′。设φ是R到R′的同态,若R中不同元素在φ下的像也不同,则称φ为单同态。φ为单同态当且仅当ker φ=0。当R′=R时φ称为R的自同态。 [2]

一类重要的映射。群之间的保持运算的一类映射。设f是群G到群G′(不必异于G)的映射,若f保持运算,即对所有的x,y∈G,总有f(xy)=f(x)f(y)(或(xy)=xy),则称f是群G到群G′的同态映射,简称同态。若同态映射f还是一个双射,则称f为G到G′的同构映射,记为GG′.这时称群G和G′同构,记为GG′。特别地,若G=G′时,则分别称f为群G的自同态和自同构。

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