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几何原本

《几何原本》(希腊语:Στοιχεα)又称《原本》。是古希腊数学家欧几里得所著的一部数学著作。它是欧洲数学的基础,总结了平面几何五大公设,被广泛的认为是历史上最成功的教科书。欧几里得也写了一些关于透视、圆锥曲线球面几何学数论的作品。欧几里得使用了公理化的方法。这一方法后来成了建立任何知识体系的典范,在差不多二千年间,被奉为必须遵守的严密思维的范例。这本著作是欧几里得几何的基础,在西方是仅次于《圣经》而流传最广的书籍。

《几何原本》是一部集前人思想和欧几里得个人创造性于一体的不朽之作。并把人们公认的一些事实列成定义和公理,以形式逻辑的方法,用这些定义和公理来研究各种几何图形的性质,从而建立了一套从公理、定义出发,论证命题得到定理的几何学论证方法,形成了一个严密的逻辑体系几何学。而这本书,也就成了欧式几何的奠基之作。

这部书已经基本囊括了几何学从公元前7世纪的古埃及,一直到公元前4世纪欧几里得生活时期前后总共400多年的数学发展历史。它不仅保存了许多古希腊早期的几何学理论,而且通过欧几里得开创性的系统整理和完整阐述,使这些远古的数学思想发扬光大。

它开创了古典数论的研究,在一系列公理、定义、公设的基础上,创立了欧几里得几何学体系,成为用公理化方法建立起来的数学演绎体系的最早典范。

欧几里得所著的《原本》大约成书于公元前300年,原书早已失传。全书共分13卷。书中包含了5个“假设(Postulates)”、5条“公设(Common Notions)”、23个定义(Definitions)和48个命题(Propositions)。在每一卷内容当中,欧几里得都采用了与前人完全不同的叙述方式,即先提出公理公设和定义,然后再由简到繁地证明它们。这使得全书的论述更加紧凑和明快。

而在整部书的内容安排上,也同样贯彻了他的这种独具匠心的安排。它由浅到深,从简至繁,先后论述了直边形、圆、比例论、相似形、数、立体几何以及穷竭法等内容。其中有关穷竭法的讨论,成为近代微积分思想的来源。

照欧氏几何学的体系,所有的定理都是从一些确定的、不需证明而礴然为真的基本命题即公理演绎出来的。在这种演绎推理中,对定理的每个证明必须或者以公理为前提,或者以先前就已被证明了的定理为前提,最后做出结论。对后世产生了深远的影响。它标志着几何学已成为一个有着比较严密的理论系统和科学方法的学科。

两千多年来,《几何原本》一直是学习数学几何部分的主要教材。哥白尼伽利略笛卡尔牛顿等许多伟大的学者都曾学习过《几何原本》,从中吸取了丰富的营养,从而作出了许多伟大的成就。

1582年,意大利人利玛窦到中国传教,带来了15卷本的《原本》。1600年,明代数学家徐光启(1562-1633)与利玛窦相识后,便经常来往。1607年,他们把该书的前6卷平面几何部分合译成中文,并改名为《几何原本》。后9卷是1857年由中国清代数学家李善兰(1811-1882)和英国人伟烈亚力译完的。

注:《几何原本》中有“公设”与“公理”之分,近代数学对此不再区分,都称“公理”。

23条

点是没有部分的

线只有长度而没有宽度

一线的两端是点

直线是它上面的点一样地平放着的线

面只有长度和宽度

面的边缘是线

平面是它上面的线一样地平放着的面

平面角是在一平面内但不在一条直线上的两条相交线相互的倾斜度

当包含角的两条线都是直线时,这个角叫做直线角

当一条直线和另一条直线交成邻角彼此相等时,这些角的每一个叫做直角,而且称这一条直线垂直于另一条直线。

大于直角的角叫钝角

小于直角的角叫锐角

边界是物体的边缘

图形是一个边界或者几个边界所围成的

圆:由一条线包围着的平面图形,其内有一点与这条线上任何一个点所连成的线段都相等

这个点(指定义15中提到的那个点)叫做圆心。

圆的直径是任意一条经过圆心的直线在两个方向被圆截得的线段,且把圆二等分

半圆是直径与被它切割的圆弧所围成的图形,半圆的圆心与原圆心相同(接17)

直线形是由线段围成的,三边形是由三条线段围成的,四边形是由四条线围成的,多边形是由四条以上线段围成的

在三边形中,三条边相等的,叫做等边三角形;只有两条边相等的,叫做等腰三角形;各边不等的,叫做不等边三角形

此外,在三边形中,有一角是直角的,叫做直角三角形;有一个角是钝角的,叫做钝角三角形;有三个角是锐角的,叫做锐角三角形

在四边形中,四边相等且四个角是直角的,叫做正方形;角是直角,但四边不全相等的,叫做长方形;四边相等,但角不是直角的,叫做菱形;对角相等且对边相等,但边不全相等且角不是直角的,叫做斜方形;其余的四边形叫做不规则四边形

平行直线是在同一个平面内向两端无限延长不能相交的直线

1.等于同量的量彼此相等;

2.等量加等量,其和相等;

3.等量减等量,其差相等;

4.彼此能完全重合的物体是全等的;

5.整体大于部分。

1.过两点能作且只能作一直线;

2.线段(有限直线)可以无限地延长;

3.以任一点为圆心,任意长为半径,可作一圆;

4.凡是直角都相等;

5.同平面内一条直线和另外两条直线相交,若在直线同侧的两个内角之和小于180°,则这两条直线经无限延长后在这一侧一定相交。(近代数学不区分公设,公理,统一称为公理)

以上选自《几何原本》 第一卷《几何基础

最后一条公设就是著名的平行公设,或者叫做第五公设。它引发了几何史上最著名的长达两千多年的关于“平行线理论”的讨论,并最终诞生了非欧几何。值得注意的是,第五公设既不能说是正确也不能说是错误,它所概括的是一种情况。非欧几何则在推翻第五公设的前提下进行了另外情况的讨论。

欧几里得的《几何原本》共有十三卷。

第一卷几何基础

重点内容有三角形全等的条件(全等三角形判定定理),三角形边和角的大小关系,平行线理论,三角形和多角形等积(面积相等)的条件,第一卷最后两个命题是毕达哥拉斯定理(又称毕氏定理)的正逆定理;

二卷:几何与代数

讲如何把三角形变成等积的正方形;其中12、13命题相当于余弦定理

第三卷圆与角

本卷阐述切线割线圆心角圆周角的一些定理。

第四卷圆与正多边形

讨论圆内接四边形外切多边形尺规作图作法和性质。

第五卷:比例

讨论比例理论,多数是继承欧多克斯的比例理论,被认为是"最重要的数学杰作之一"。

第六卷:相似

相似多边形理论,并以此阐述了比例的性质。

第七、八、第九、第十卷:初等几何数论

讲述算术的理。第十卷是篇幅最大的一卷,主要讨论无理数(与给定的量不可通约的量),其中第一命题极限思想的雏形。

第十一卷:立体几何

第十二卷:立体的测量

第十三卷:建正多面体

最后讲述立体几何的内容以及立体几何的相关体积、侧面积表面积的计算与证明。

从这些内容可以看出,目前属于中学课程里的初等几何的主要内容已经完全包含在《几何原本》里了。因此长期以来,人们都认为《几何原本》是两千多年来传播几何知识的标准教科书。属于《几何原本》内容的几何学,人们把它叫做欧几里得几何学,或简称为欧氏几何

在几何学上的影响和意义

在几何学发展的历史中,欧几里得的《几何原本》起了重大的历史作用。这种作用归结到一点,就是提出了几何学的“根据”和它的逻辑结构的问题。在他写的《几何原本》中,就是用逻辑的链子由此及彼的展开全部几何学,这项工作,前人未曾作到。《几何原本》的诞生,标志着几何学已成为一个有着比较严密的理论系统和科学方法的学科。并且《几何原本》中的命题1.47,证明了在西方是欧几里得最先发现的勾股定理,从而说明了欧洲是西方最早发现勾股定理的大洲。

论证方法上的影响

关于几何论证的方法,欧几里得提出了分析法综合法归谬法。所谓分析法就是先假设所要求的已经得到了,分析这时候成立的条件,由此达到证明的步骤;综合法是从以前证明过的事实开始,逐步的导出要证明的事项;归谬法是在保留命题的假设下,否定结论,从结论的反面出发,由此导出和已证明过的事实相矛盾或和已知条件相矛盾的结果,从而证实原来命题的结论是正确的,也称作反证法

作为教材的影响

欧几里得发表《几何原本》到如今,已经过去了两千多年,尽管科学技术日新月异,由于欧氏几何具有鲜明的直观性和有着严密的逻辑演绎方法相结合的特点,在长期的实践中表明,它巳成为培养、提高青少年逻辑思维能力的好教材。历史上不知有多少科学家从学习几何中得到益处,从而作出了伟大的贡献。(牛顿的例子)

少年时代的牛顿在剑桥大学附近的夜店里买了一本《几何原本》,开始他认为这本书的内容没有超出常识范围,因而并没有认真地去读它,而对笛卡儿的“坐标几何”很感兴趣而专心攻读。后来,牛顿于1664年4月在参加特列台奖学金考试的时候遭到落选,当时的考官巴罗博士对他说:“因为你的几何基础知识太贫乏,无论怎样用功也是不行的。”这席谈话对牛顿的震动很大。于是,牛顿又重新把《几何原本》从头到尾地反复进行了深入钻研,为以后的科学工作打下了坚实的数学基础。

《原本》的缺憾

但是,在人类认识的长河中,无论怎样高明的前辈和名家,都不可能把问题全部解决。由于历史条件的限制,欧几里得在《几何原本》中提出几何学的“根据”问题并没有得到彻底的解决,他的理论体系并不是完美无缺的。比如,对直线的定义实际上是用一个未知的定义来解释另一个未知的定义,这样的定义不可能在逻辑推理中起什么作用。又如,欧几里得在逻辑推理中使用了“连续”的概念,但是在《几何原本》中从未提到过这个概念。

有些被欧几里得作为不证自明的公理,却难以自明。比如“第五平行公设”,欧几里得在《几何原本》一书中断言:“通过已知直线外一已知点,能作且仅能作一条直线与已知直线平行。 ”这个结果在普通平面当中尚能够得到经验的印证,那么在无处不在的闭合球面之中(地球就是个大曲面)这个平行公理却是不成立的。俄国人罗伯切夫斯基和德国人黎曼由此创立了非欧几何学

《几何原本》最初是手抄本,以后译成了世界各种文字,它的发行量仅次于《圣经》而位居第二。19世纪初,法国数学家勒让德,把欧几里德的原作,用现代语言写成了几何课本,成为现今通用的几何学教本。

传入中国

中国最早的译本是1607年意大利传教士利玛窦(Matteo Ricci,1552-1610)和徐光启根据德国人克拉维乌斯校订增补的拉丁文本《欧几里得原本》(15卷)合译的,定名为《几何原本》,几何的中文名称就是由此而得来的。该译本第一次把欧几里德几何学及其严密的逻辑体系和推理方法引入中国,同时确定了许多我们如今耳熟能详的几何学名词,如点、直线、平面、相似、外似等。他们只翻译了前6卷,后9卷由英国人伟烈亚力和中国科学家李善兰在1857年译出。

前六卷的翻译工作

《几何原本》传入中国,首先应归功于明末科学家徐光启。徐光启(1562~1633),字子先,上海吴淞人。他在加强国防、发展农业、兴修水利、修改历法等方面都有相当的贡献,对引进西方数学和历法更是不遗余力。他认识意大利传教士利玛窦之后,决定一起翻译西方科学著作。利玛窦主张先译天文历法书籍,以求得天子的赏识。但徐光启坚持按逻辑顺序,先译《几何原本》。

对徐光启而言,《几何原本》有严整的逻辑体系,其叙述方式和中国传统的《九章算术》完全不同。这种区别于中国传统数学的特点,徐光启有着比较清楚的认识。他还充分认识到几何学的重要意义,他说“窃百年之后,必人人习之”。

他们于1606年完成前6卷的翻译,1607年在北京印刷发行。

徐光启翻译中的重要贡献

徐光启和利玛窦《几何原本》中译本的一个伟大贡献在于确 定了研究图形的这一学科中文名称为“几何”,并确定了几何学中一些基本术语的译名。“几何”的原文是“geometria”,徐光启和利玛窦在翻译时,取“geo”的音为“几何”,而“几何”二字中文原意又有“衡量大小”的意思。用“几何”译“geometria”,音义兼顾,确是神来之笔。几何学中最基本的一些术语,如点、线、直线、平行线、角、三角形和四边形等中文译名,都是这个译本定下来的。这些译名一直流传到今天,且东渡日本等国,影响深远。

后9卷的翻译工作

就在他们想继续把《几何原本》的后9卷翻译完的时候,发生了一件意想不到的事情,就是徐光启的父亲不幸去世了。徐父去世的准确日子是如今。当时徐光启尽管已经入教,但作为一名一直在传统文化熏陶下成长起来的封建时代的知识分子,他还做不到那么超脱,所以,他不得不开始忙于一系列繁杂的丧事。丧事差不多了,到了8月初,徐光启请了假,便扶柩回了上海。这一去就是三年。

此时利玛窦一直在北京,中间的确为《几何原本》的事情他们曾经联系过一次,但那次主要是让徐光启想办法在南方刊印。此后,他们再没联系。三年后,即1610年5月11日,利玛窦去世了。而徐光启到了12月15日才回到北京。此时利玛窦已于11月1日下葬。所以他们从1607年8月之后,再也未曾谋过面。

徐光启于1611年夏天在修订利玛窦留下的《几何原本》前六卷手稿时写下了明显含有不再续译《几何原本》后九卷内容意义的话,通过前面的分析,我们认为,并非由于当时《几何原本》前六卷无人注意或没有用处,而是由于当时的环境与以前大不相同了。龙华民执掌耶稣会之后,禁止传教士向中国人传授西方科技,很大程度上束缚了西方传教士与中国人的接触和交流。另外,与徐光启比较熟悉的两位神父庞迪我熊三拔并不谙熟《几何原本》内容,其数学水平与利玛窦相去甚远,这两方面的因素综合起来,是使徐光启感慨太息,决定停止续译的根本原因。

就因为这个意外,使《几何原本》的后9卷的翻译推迟了200多年,才由清代数学家李善兰和英国人伟烈亚力合作完成。

李善兰(1811~1882),字壬叔,号秋纫,浙江海宁人,自幼喜欢数学。1852年到上海后,李善兰与伟烈亚力相约,继续完成徐光启、利玛窦未完成的事业,合作翻译《几何原本》后9卷,并与1856年完成此项工作。

至此,欧几里得的这一伟大著作第一次完整地引入中国,对中国近代数学的发展起到了重要的作用。

清康熙帝时,编辑数学百科全书《数理精蕴》(公元1723年),其中收有《几何原本》一书,但这是根据公元十八世纪法国几何学教科书翻译的,和欧几里得的《几何原本》差别很大。

徐光启在评论《几何原本》时说过:“此书为益能令学理者祛其浮气,练其精心;学事者资其定法,发其巧思,故举世无一人不当学。”其大意是:读《几何原本》的好处在于能去掉浮夸之气,练就精思的习惯,会按一定的法则,培养巧妙的思考。所以全世界人人都要学习几何。徐光启同时也说过:“能精此书者,无一事不可精;好学此书者,无一事不可学。”

爱因斯坦更是认为:“如果欧几里得未激发你少年时代的科学热情,那你肯定不是天才科学家。”

欧几里得(Euclid,约公元前330公元前275年)是古希腊著名数学家,被称为“几何之父”他除了著有《几何原本》,还著作了《已知数》、《纠错集》、《圆锥曲线论》、《曲面轨迹》、《观测天文学》等。遗憾的是,除了《几何原本》以外,这些都没有流传下来,而是消失在历史的长流之中了。

1、托勒密国王向欧几里得讨教学习几何学的捷径,欧几里得答道:“几何无王者之道。”意思是说,在几何学里,没有一步登天的捷径,只有一步一个脚印、踏踏实实地学习,才能学有所成。这句话成为千古传颂的箴言。

2、一个学生刚开始学习第一个命题,就问欧几里得学了几何之后将得到些什么。欧几里得对身边的侍从说:“给他三个钱币,因为他想在学习中获取实利。”

这两则故事,与他的光辉著作一样,固有高深的含义。

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