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余数

余数,数学用语。在整数的除法中,只有能整除与不能整除两种情况。当不能整除时,就产生余数,取余数运算:a mod b = c(b不为0) 表示整数a除以整数b所得余数为c,如:7÷3 = 2 1。

余数指整数除法中被除数未被除尽部分,且余数的取值范围为0到除数之间(不包括除数)的整数。 [1] 例如:27除以6,商数为4,余数为3。

一个数除以另一个数,要是比另一个数小的话,商为0,余数就是它自己。 [1] 例如:1除以2,商数为0,余数为1;2除以3,商数为0,余数为2。

在整数的除法中,只有能整除与不能整除两种情况。当不能整除时,就产生余数,所以余数问题在小学数学中非常重要。 [2]

取余数运算:

a mod b = c 表示 整数a除以整数b所得余数为c。

余数的计算公式:c = a - a/b * b

其中, 为向下取整运算符,向下取整运算称为Floor,用数学符号 表示

例: 3.476 =3,6.7546=6,-3.14159= -4

如 7 mod 3 = 7-7/3*3=7-2*3=1

余数有如下一些重要性质(a,b,c均为自然数): [3]

(1)余数和除数的差的绝对值要小于除数的绝对值(适用于实数域);

(2)被除数=除数×商+余数;

除数=(被除数-余数)÷商;

商=(被除数-余数)÷除数

余数=被除数-除数×商。

(3)如果a,b除以c的余数相同,那么a与b的差能被c整除。例如,17与11除以3的余数都是2,所以17-11能被3整除。

(4)a与b的和除以c的余数(a、b两数除以c在没有余数的情况下除外),等于a,b分别除以c的余数之和(或这个和除以c的余数)。例如,23,16除以5的余数分别是3和1,所以(23+16)除以5的余数等于3+1=4。注意:当余数之和大于除数时,所求余数等于余数之和再除以c的余数。例如,23,19除以5的余数分别是3和4,所以(23+19)除以5的余数等于(3+4)除以5的余数。

(5)a与b的乘积除以c的余数,等于a,b分别除以c的余数之积(或这个积除以c的余数)。例如,23,16除以5的余数分别是3和1,所以(23×16)除以5的余数等于3×1=3。注意:当余数之积大于除数时,所求余数等于余数之积再除以c的余数。例如,23,19除以5的余数分别是3和4,所以(23×19)除以5的余数等于(3×4)除以5的余数。

性质(4)(5)都可以推广到多个自然数的情形。 [3]

例1:5120除以一个两位数得到的余数是64,求这个两位数。

分析与解:

由性质(2)知,除数×商=被除数-余数。

5120-64=5056,5056应是除数的整数倍。将5056分解质因数,得到5056=64×79。

由性质(1)知,除数应大于64,再由除数是两位数,得到除数在67~99之间,

符合题意的5056的约数只有79,所以这个两位数是79。

例2:被除数、除数、商与余数之和是2143,已知商是33,余数是52,求被除数和除数。

解:因为被除数=除数×商+余数=除数×33+52,

被除数=2143-除数-商-余数=2143-除数-33-52=2058-除数,

所以 除数×33+52=2058-除数,所以 除数=(2058-52)÷34=59,

被除数=2058-59=1999。

答:被除数是1999,除数是59。

例3:甲、乙两数的和是1088,甲数除以乙数商11余32,求甲、乙两数。

解:因为 甲=乙×11+32,

所以 甲+乙=乙×11+32+乙=乙×12+32=1088,

所以 乙=(1088-32)÷12=88,

甲=1088-乙=1000。

答:甲数是1000,乙数是88。

例4:有一个整数,用它去除70,110,160得到的三个余数之和是50。求这个数。

分析与解:先由题目条件,求出这个数的大致范围。因为50÷3=16……2,所以三个余数中至少有一个大于16,推知除数大于16。由三个余数之和是50知,除数不应大于70,所以除数在17~70之间。

由题意知(70+110+160)-50=290应能被这个数整除。将290分解质因数,得到290=2×5×29,290在17~70之间的约数有29和58。

因为110÷58=1……52>50,所以58不合题意。所求整数是29。

例5:求478×296×351除以17的余数。

分析与解:先求出乘积再求余数,计算量较大。根据性质(5),可先分别计算出各因数除以17的余数,再求余数之积除以17的余数。

478,296,351除以17的余数分别为2,7和11,(2×7×11)÷17=9……1。所求余数是1。

例6:甲、乙两个代表团乘车去参观,每辆车可乘36人。两代表团坐满若干辆车后,甲代表团余下的11人与乙代表团余下的成员正好又坐满一辆车。参观完,甲代表团的每个成员与乙代表团的每个成员两两合拍一张照片留念。如果每个胶卷可拍36张照片,那么拍完最后一张照片后,相机里的胶卷还可拍几张照片?

分析与解:甲代表团坐满若干辆车后余11人,说明甲代表团的人数(简称甲数)除以36余11;两代表团余下的人正好坐满一辆车,说明乙代表团余36-11=25(人),即乙代表团的人数(简称乙数)除以36余25;甲代表团的每个成员与乙代表团的每个成员两两合拍一张照片,共要拍“甲数×乙数”张照片,因为每个胶卷拍36张,所以最后一个胶卷拍的张数,等于“甲数×乙数”除以36的余数。

因为甲数除以36余11,乙数除以36余25,所以“甲数×乙数”除以36的余数等于11×25除以36的余数。

(11×25)÷36=7……23,

即最后一个胶卷拍了23张,还可拍36-23=13(张)。

由例6看出,将实际问题转化为我们熟悉的数学问题,有助于我们思考解题。

例7:5397被一个质数除,所得余数是15.求这个质数.

解:这个质数能整除

5397-15=5382,

而 5382=2×31997×13×23.

因为除数要比余数15大,除数又是质数,所以它只能是23.

当被除数较大时,求余数的一个简便方法是从被除数中逐次去掉除数的整数倍,从而得到余数。

例8:求 645763除以7的余数。

解:可以先去掉 7的倍数630000余15763,再去掉14000还余下 1763,再去掉1400余下363,再去掉350余13,最后得出余数是6.这个过程可简单地记成

645763→15763→1763→363→13→6.

如果演算能力强,上面过程可以更简单地写成:

645763→15000→1000→6.

带余除法可以得出下面很有用的结论:

如果两个数被同一个除数除余数相同,那么这两个数之就能被那个除数整除。

例9:有一个大于 1的整数,它除967,1000,2001得到相同的余数,那么这个整数是多少?

解:由上面的结论,所求整数应能整除 967,1000,2001的两两之差,即

1000-967=33=3×11,

2001-1000=1001=7×11×13,

2001-967=1034=2×11×47.

这个整数是这三个差的公约数11.

请注意,我们不必求出三个差,只要求出其中两个就够了。因为另一个差总可以由这两个差得到。

例如,求出差1000-967与2001-1000,

那么差

2001-967=(2001-1000)+(1000-967)

=1001+33

=1034

从带余除式,还可以得出下面结论:

甲、乙两数,如果被同一除数来除,得到两个余数,那么甲、乙两数之和被这个除数除,它的余数就是两个余数之和被这个除数除所得的余数。

例如,57被13除余5,152被13除余9,那么57+152=209被13除,余数是5+9=14被 13除的余数1.

例10:有一串数排成一行,其中第一个数是15,第二个数是40,从第三个数起,每个数恰好是前面两个数的和,问这串数中,第1998个数被3除的余数是多少?

解:我们可以按照题目的条件把这串数写出来,再看每一个数被3除的余数有什么规律,但这样做太麻烦。根据上面说到的结论,可以采取下面的做法,从第三个数起,把前两个数被3除所得的余数相加,然后除以3,就得到这个数被3除的余数,这样就很容易算出前十个数被3除的余数,列表如下:

从表中可以看出,第九、第十两数被3除的余数与第一、第二两个数被3除的余数相同。因此这一串数被3除的余数,每八个循环一次,因为

1998= 8×249+ 6,

所以,第1998个数被3除的余数,应与第六个数被3除的余数一样,也就是2.

一些有规律的数,常常会循环地出现.我们的计算方法,就是循环制.计算钟点是

1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12

这十二个数构成一个循环。

按照七天一轮计算天数是

日,一,二,三,四,五,六.这也是一个循环,相当于一些连续自然数被7除的余数

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6的循环,用循环制计算时间:钟表、星期、月、四季,说明人们很早就发现循环现象.用数来反映循环现象也是很自然的事。

循环现象,我们还称作具有“周期性”,12个数的循环,就说周期是12,7个数的循环,就说周期是7.例 10中余数的周期是8。研究数的循环,发现周期性和确定周期,是很有趣的事。

下面我们再举出两个余数出现循环现象的例子。在讲述例题之前,再讲一个从带余除式得出的结论:

甲、乙两数被同一除数来除,得到两个余数.那么甲、乙两数的积被这个除数除,它的余数就是两个余数的积,被这个除数除所得的余数.

例如,37被11除余4,27被11除余5,37×27=999被 11除的余数是 4×5=20被 11 除后的余数 9。

1997=7×285+2,就知道1997×1997被7除的余数是2×2=4.

例 11:191997被7除余几?

解:从上面的结论知道,191997被7除的余数与21997被7除的余数相同.我们只要考虑一些2的连乘,被7除的余数.

先写出一列数

2,2×2=4,2×2×2 =8,

2×2×2×2=16,…

然后逐个用7去除,列一张表,看看有什么规律。列表如下:

事实上,只要用前一个数被7除的余数,乘以2,再被7除,就可以得到后一个数被7除的余数.(为什么?请想一想.)

从表中可以看出,第四个数与第一个数的余数相同,都是2.根据上面对余数的计算,就知道,第五个数与第二个数余数相同,……因此,余数是每隔3个数循环一轮。循环的周期是3。

1997=3×665 +2

就知道21997被7除的余数,与21997 被 7除的余数相同,这个余数是4。

再看一个稍复杂的例子。

例12:70个数排成一行,除了两头的两个数以外,每个数的三倍都恰好等于它两边两个数的和.这一行最左边的几个数是这样的:

0,1,3,8,21,55,…

问:最右边一个数(第70个数)被6除余几?

解:首先要注意到,从第三个数起,每一个数都恰好等于前一个数的3倍减去再前一个数:

3=1×3-0,

8=3×3-1,

21=8×3-3,

55=21×3-8,

……

不过,真的要一个一个地算下去,然后逐个被6去除,那就太麻烦了。能否从前面的余数,算出后面的余数呢?能!同算出这一行数的办法一样(为什么?),从第三个数起,余数的计算办法如下:

将前一个数的余数乘3,减去再前一个数的余数,然后被6除,所得余数即是

用这个办法,可以逐个算出余数,列表如下:

注意,在算第八个数的余数时,要出现0×3-1这在小学数学范围不允许,因为我们求被6除的余数,所以我们可以 0×3加6再来减 1

从表中可以看出,第十三、第十四个数的余数,与第一、第二个数的余数对应相同,就知道余数的循环周期是 12

70 =12×5+10

因此,第七十个数被6除的余数,与第十个数的余数相同,也就是4。

在一千多年前的《孙子算经》中,有这样一道算术题:

“今有物不知其数,三三数之剩二,五五数之剩三,七七数之剩二,问物几何?”按照如今的话来说:

一个数除以3余2,除以5余3,除以7余2,求这个数。

这样的问题,也有人称为“韩信点兵”.它形成了一类问题,也就是初等数论中解同余式.这类问题的有解条件和解的方法被称为“中国剩余定理”,这是由中国人提出的。许多小学数学的课外读物都喜欢讲这类问题,但是它的一般解法决不是小学生能弄明白的。这里,我们通过两个例题,对较小的数,介绍一种通俗解法。

例13:有一个数,除以3余2,除以4余1,问这个数除以12余几?

解:除以3余2 的数有:

2, 5, 8, 11,14, 17, 20, 23…

它们除以12的余数是:

2,5,8,11,2,5,8,11,…

除以4余1的数有:

1, 5, 9, 13, 17, 21, 25, 29,…

它们除以12的余数是:

1, 5, 9, 1, 5, 9,…

一个数除以12的余数是唯一的.上面两行余数中,只有5是共同的,因此这个数除以12的余数是5

上面解法中,我们逐个列出被3除余2的整数,又逐个列出被4除余1的整数,然后逐个考虑被12除的余数,找出两者共同的余数,就是被12除的余数.这样的列举的办法,在考虑的数不大时,是很有用的,也是同学们最容易接受的。

如果我们把例23的问题改变一下,不求被12除的余数,而是求这个数.很明显,满足条件的数是很多的,它是

5+ 12×整数

整数可以取0,1,2,…,无穷无尽.事实上,我们首先找出5后,注意到12是3与4的最小公倍数,再加上 12的整数倍,就都是满足条件的数.这样就是把“除以3余2,除以4余1”两个条件合并成“除以12余5”一个条件。《孙子算经》提出的问题有三个条件,我们可以先把两个条件合并成一个.然后再与第三个条件合并,就可找到答案.

例14:一个数除以 3余2,除以5余3,除以7余2,求符合条件的最小数.

解:先列出除以 3余2的数:

2, 5, 8, 11, 14, 17, 20, 23, 26,…,

再列出除以5余3的数:

3, 8, 13, 18, 23, 28,….

这两列数中,首先出现的公共数是8.3与5的最小公倍数是15.两个条件合并成一个就是

8+15×整数,

列出这一串数是

8, 23, 38,…,

再列出除以7余2的数

2, 9, 16, 23, 30,…,

就得出符合题目条件的最小数是23.

事实上,我们已把题目中三个条件合并成一个:被105除余23.

最后再看一个例子.

例15:在100 至200之间,有三个连续的自然数,其中最小的能被3整除,中间的能被5整除,最大的能被7整除,写出这样的三个连续自然数.

解:先找出两个连续自然数,第一个能被3整除,第二个能被5整除(又是被3除余1).例如,找出9和10,下一个连续的自然数是11.

3和5的最小公倍数是15,考虑11加15的整数倍,使加得的数能被7整除.11+15×3=56能被7整除,那么54,55,56这三个连续自然数,依次分别能被3,5,7整除.

为了满足“在100至200之间”将54,55,56分别加上3,5,7的最小公倍数105.所求三数是

159, 160, 161。

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