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三角函数

三角函数是六类基本初等函数之一是以角度(数学上最常用弧度制,下同)为自变量,角度对应任意角终边与单位圆交点坐标或其比值为因变量的函数。也可以等价地用与单位圆有关的各种线段的长度来定义。三角函数在研究三角形和等几何形状的性质时有重要作用,也是研究周期性现象的基础数学工具。在数学分析中,三角函数也被定义为无穷级数或特定微分方程的解,允许它们的取值扩展到任意实数值,甚至是复数值。

常见的三角函数包括正弦函数余弦函数正切函数。在航海学测绘学工程学等其他学科中,还会用到如余切函数正割函数余割函数正矢函数余矢函数半正矢函数半余矢函数等其他的三角函数。不同的三角函数之间的关系可以通过几何直观或者计算得出,称为三角恒等式

三角函数一般用于计算三角形中未知长度的边和未知的角度,在导航、工程学以及物理学方面都有广泛的用途。另外,以三角函数为模版,可以定义一类相似的函数,叫做双曲函数。常见的双曲函数也被称为双曲正弦函数、双曲余弦函数等等。三角函数(也叫做圆函数)是角的函数;它们在研究三角形和建模周期现象和许多其他应用中是很重要的。三角函数通常定义为包含这个角的直角三角形的两个边的比率,也可以等价的定义为单位圆上的各种线段的长度。更现代的定义把它们表达为无穷级数或特定微分方程的解,允许它们扩展到任意正数和负数值,甚至是复数值。

公元五世纪到十二世纪,印度数学家对三角学作出了较大的贡献。尽管当时三角学仍然还是天文学的一个计算工具,是一个附属品,但是三角学的内容却由于印度数学家的努力而大大的丰富了。

三角学中”正弦”和”余弦”的概念就是由印度数学家首先引进的,他们还造出了比托勒密更精确的正弦表。

我们已知道,托勒密和希帕克造出的弦表是的全表,它是把圆弧同弧所夹的弦对应起来的。印度数学家不同,他们把半弦(AC)与全弦所对弧的一半(AD)相对应,即将AC∠AOC对应(如图五 ),这样,他们造出的就不再是”全弦表”,而是”正弦表”了。

印度人称连结(AB)的两端的弦(AB)为”吉瓦(jiba)”,是弓弦的意思;称AB的一半(AC) 为”阿尔哈吉瓦”。后来”吉瓦”这个词译成阿拉伯文时被误解为”弯曲”、”凹处”,阿拉伯语是 ”dschaib”。十二世纪,阿拉伯文被转译成拉丁文,这个字被意译成了”sinus”。

早期对于三角函数的研究可以追溯到古代。古希腊三角术的奠基人是公元前2世纪的喜帕恰斯。他按照古巴比伦人的做法,将圆周分为360等份(即圆周的弧度为360度,与现代的弧度制不同)。对于给定的弧度,他给出了对应的弦的长度数值,这个记法和现代的正弦函数是等价的。喜帕恰斯实际上给出了最早的三角函数数值表。然而古希腊的三角学基本是球面三角学。这与古希腊人研究的主体是天文学有关。梅涅劳斯在他的著作《球面学》中使用了正弦来描述球面的梅涅劳斯定理。古希腊三角学与其天文学的应用在埃及的托勒密时代达到了高峰,托勒密在《数学汇编》(Syntaxis Mathematica)中计算了36度角和72度角的正弦值,还给出了计算和角公式和半角公式的方法。托勒密还给出了所有0到180度的所有整数和半整数弧度对应的正弦值。

古希腊文化传播到古印度后,古印度人对三角术进行了进一步的研究。公元5世纪末的数学家阿耶波多提出用弧对应的弦长的一半来对应半弧的正弦,这个做法被后来的古印度数学家使用,和现代的正弦定义一致了。阿耶波多的计算中也使用了余弦和正割。他在计算弦长时使用了不同的单位,重新计算了0到90度中间隔三又四分之三度(3.75°)的三角函数值表。然而古印度的数学与当时的中国一样,停留在计算方面,缺乏系统的定义和演绎的证明。阿拉伯人也采用了古印度人的正弦定义,但他们的三角学是直接继承于古希腊。阿拉伯天文学家引入了正切余切正割余割的概念,并计算了间隔10分(10′)的正弦和正切数值表。到了公元14世纪,阿拉伯人将三角计算重新以算术方式代数化(古希腊人采用的是建立在几何上的推导方式)的努力为后来三角学从天文学中独立出来,成为了有更广泛应用的学科奠定了基础。

进入15世纪后,阿拉伯数学文化开始传入欧洲。随着欧洲商业的兴盛,航行、历法测定和地理测绘中出现了对三角学的需求。在翻译阿拉伯数学著作的同时,欧洲数学家开始制作更详细精确的三角函数值表。哥白尼的学生乔治约阿希姆瑞提克斯制作了间隔10秒(10″)的正弦表,有9位精确值。瑞提克斯还改变了正弦的定义,原来称弧对应的弦长是正弦,瑞提克斯则将角度对应的弦长称为正弦。16世纪后,数学家开始将古希腊有关球面三角的结果和定理转化为平面三角定理。弗朗索瓦韦达给出了托勒密的不少结果对应的平面三角形式。他还尝试计算了多倍角正弦的表达方式。

18世纪开始,随着解析几何等分析学工具的引进,数学家们开始对三角函数进行分析学上的研究。牛顿在1669年的《分析学》一书中给出了正弦和余弦函数的无穷级数表示。Collins将牛顿的结果告诉了詹姆斯格列高里,后者进一步给出了正切等三角函数的无穷级数。莱布尼兹在1673年左右也独立得到了这一结果。欧拉的《无穷小量分析引论》(Introductio in Analysin Infinitorum,1748年)对建立三角函数的分析处理做了最主要的贡献,他定义三角函数为无穷级数,并表述了欧拉公式,还有使用接近现代的简写sin.cos.tang.cot.sec.cosec.

根据认识,弦表的制作似应该是由一系列不同的角出发,去作一系列直角三角形,然后一一量出AC,A’C’,A’’C’’…之间的距离。然而,第一张弦表制作者希腊文学家希帕克 (Hipparchus,约前180~前125)不是这样作,他采用的是在同一个固定的内,去计算给定度数的圆弧AB所对应的弦AB的长(如图三)。这就是说,希帕克是靠计算,而不是靠工具量出弦长来制表的,这正是他的卓越之处。希帕克的原著早已失传,我们所知关于希帕克在三角学上的成就,是从公元二世纪希腊著名天文学家托勒密的遗著《天文集》中得到的。虽然托勒密说他的这些成就出自希帕克,但事实上不少是他自己的创造。

据托勒密书中记载,为了度量圆弧与弦长,他们采用了巴比伦人的60进位法。把圆周360等分,把它的半径60等分,在圆周和半径的每一等分中再等分60份,每一小份又等分为60份,这样就得出了托勒密所谓的第一小份和第二小份。很久以后,罗马人把它们分别取名为”partes minutae primae”和”partes minutae secundae”;后来,这两个名字演变为”minute”和”second”,成为角和时间的度量上””和””这两个单位得起源。

建立了半径与圆周的度量单位以后,希帕克托勒密先着手计算一些特殊圆弧所对应的弦长。比如 60°弧(1/6圆周长)所对的弦长,正好是内接正六边形的边长,它与半径相等,因此得出60°弧对应的弦值是60个半径单位(半径长的1/60为一个单位);用同样的方法,可以算出120°弧、90°弧以及72°弧所对应的弦值(如图四)。有了这些弧所对应的弦值,接着就利用所称的”托勒密定理”,来推算两条已知所对弦长的弧的”和”与”差”所对的弦长,以及由一条弧所对的弦长来计算这条弧的一半所对的弦长。正是基于这样一种几何上的推算。他们终于造出了世界上第一张弦表。

三角学输入中国,开始于明崇祯4年(1631年),这一年,邓玉函汤若望徐光启合编《大测》,作为历书的一部份呈献给朝廷,这是我国第一部编译的三角学。在《大》中,首先将sine译为”正半弦”,简称”正弦”,这就成了“正弦”一词的由来。

在直角三角形中,当平面上的三点A、B、C的连线,AB、AC、BC,构成一个直角三角形,其中∠ACB为直角。对∠BAC而言,对边(opposite)a=BC、斜边(hypotenuse)c=AB、邻边(adjacent)b=AC,则存在以下关系:

基本函数

英文

缩写

表达式

语言描述

正弦函数

sine

sin

a/c

A的对边比斜边

余弦函数

cosine

cos

b/c

A的邻边比斜边

正切函数

tangent

tan

a/b

A的对边比邻边

余切函数

cotangent

cot

b/a

A的邻边比对边

正割函数

secant

sec

c/b

A的斜边比邻边

余割函数

cosecant

csc

c/a

A的斜边比对边

注:正切函数、余切函数曾被写作tgctg现已不用这种写法

如右图,六边形的六个角分别代表六种三角函数,存在如下关系:

1).对角相乘乘积为1,即sinθcscθ=1; cosθsecθ=1; tanθcotθ=1.

2).六边形任意相邻的三个顶点代表的三角函数,处于中间位置的函数值等于与它相邻两个函数值的乘积,如:sinθ=cosθ*tanθ; tanθ=sinθ*secθ...

3)阴影部分的三角形,处于上方两个顶点的平方之和等于下顶点的平方值,如:

正弦值在

余弦值在

正切值在

余切值在

正割值在

余割值在

注:以上其他情况可类推,参考第五项:几何性质。

除了上述六个常见的函数,还有一些不常见的三角函数:

正矢函数

余矢函数

半正矢函数

半余矢函数

外正割函数

外余割函数

平面直角坐标系xOy中设∠β的始边为x轴的正半轴,设点P(x,y)为∠β的终边上不与原点O重合的任意一点,设r=OP,令∠β=∠α,则:

六个三角函数也可以依据半径为1中心为原点的单位圆来定义。单位圆定义在实际计算上没有大的价值;实际上对多数角它都依赖于直角三角形。但是单位圆定义的确允许三角函数对所有正数负数辐角都有定义,而不只是对于在 0 π/2弧度之间的角。它也提供了一个图像,把所有重要的三角函数都包含了。根据勾股定理,单位圆的方程是:对于圆上的任意点(x,y),x+y=1

图像中给出了用弧度度量的一些常见的角:逆时针方向的度量是正角,而顺时针的度量是负角。设一个过原点的线,同x轴正半部分得到一个角θ,并与单位圆相交。这个交点的xy坐标分别等于cosθsinθ。图像中的三角形确保了这个公式;半径等于斜边且长度为1,所以有 sinθ=y/1cosθ=x/1。单位圆可以被视为是通过改变邻边和对边的长度,但保持斜边等于 1的一种查看无限个三角形的方式。

对于大于 或小于等于 的角度,可直接继续绕单位圆旋转。在这种方式下,正弦和余弦变成了周期为 周期函数:对于任何角度θ和任何整数k

周期函数的最小正周期叫做这个函数的“基本周期”。正弦、余弦、正割或余割的基本周期是全圆,也就是 2π弧度或 360°;正切或余切的基本周期是半圆,也就是 π 弧度或 180°。上面只有正弦和余弦是直接使用单位圆定义的,其他四个三角函数的定义如图所示。

正切函数的图像中,在角kπ 附近变化缓慢,而在接近角 (k+ 1/2)π 的时候变化迅速。正切函数的图像在 θ = (k+ 1/2)π 有垂直渐近线。这是因为在 θ 从左侧接进 (k+ 1/2)π 的时候函数接近正无穷,而从右侧接近 (k+ 1/2)π 的时候函数接近负无穷。

另一方面,所有基本三角函数都可依据中心为O的单位圆来定义,类似于历史上使用的几何定义。特别 是,对于这个圆的AB,这里的 θ 是对向角的一半,sinθAC(半弦),这是印度的阿耶波多介入的定义。cosθ是水平距离OC,versinθ=1-cosθCD。tanθ是通过A切线线段AE的长度,所以这个函数才叫正切。cotθ是另一个切线段AF。 secθ=OE和 cscθ=OF是割线(与圆相交于两点)的线段,所以可以看作OA沿着 A 的切线分别向水平和垂直轴的投影。DE是 exsecθ= secθ-1(正割在圆外的部分)。通过这些构造,容易看出正割和正切函数在 θ 接近 π/2的时候发散,而余割和余切在 θ 接近零的时候发散。

依据单位圆定义,我们可以做三个有向线段向量)来表示正弦、余弦、正切的值。如图所示,圆O是一个单位圆,P是α终边与单位圆上的交点,M点是Px轴的投影,A(1,0)是圆O与x轴正半轴的交点,过A点做过圆O的切线

那么向量MP对应的就是α正弦值,向量OM对应的就是余弦值。OP的延长线(或反向延长线)与过A点的切线的交点为T,则向量AT对应的就是正切值。向量的起止点不能颠倒,因为其方向是有意义的。

借助线三角函数线,我们可以观察到第二象限角α的正弦值为正,余弦值为负,正切值为负。

只使用几何和极限的性质,可以证明正弦的导数是余弦,余弦的导数是负的正弦。(在微积分中,所有角度都以弧度来度量)。我们可以接着使用泰勒级数的理论来证明下列恒等式对于所有实数x都成立:

这些恒等式经常被用做正弦和余弦函数的定义。它们经常被用做三角函数的严格处理和应用的起点(比如,在傅里叶级数中),因为无穷级数的理论可从实数系的基础上发展而来,不需要任何几何方面的考虑。这样,这些函数的可微性和连续性便可以单独从级数定义来确立。

其他级数可见于:

注:Un是n次上/下数, Bn是n次伯努利数,x<π/2。

三角学”,英文Trigonometry。现代三角学一词最初见于希腊文。最先使用Trigonometry这个词的是皮蒂斯楚斯( Bartholomeo Pitiscus,1516-1613),他在1595年出版一本著作《三角学:解三角学的简明处理》,创造了这个新词。它是由τριγωυου(三角形)及μετρει υ(测量)两字构成的,原意为三角形的测量,或者说解三角形。古希腊文里没有这个字,原因是当时三角学还没有形成一门独立的科学,而是依附于天文学。因此解三角形构成了古代三角学的实用基础。

早期的解三角形是因天文观测的需要而引起的。还在很早的时候,由于垦殖和畜牧的需要,人们就开始作长途迁移;后来,贸易的发展和求知的欲望,又推动他们去长途旅行。在当时,这种迁移和旅行是一种冒险的行动。人们穿越无边无际、荒无人烟的草地和原始森林,或者经水路沿着海岸线作长途航行,无论是那种方式,都首先要明确方向。那时,人们白天拿太阳作路标,夜里则以星星为指路灯。太阳和星星给长期跋山涉水的商队指出了正确的道路,也给那些沿着遥远的异域海岸航行的人指出了正确的道路。

就这样,最初的以太阳和星星为目标的天文观测,以及为这种观测服务的原始的三角测量就应运而生了。因此可以说,三角学是紧密地同天文学相联系而迈出自己发展史的第一步的。

三角学问题的提出:三角学理论的基础,是对三角形各元素之间相依关系的认识。一般认为,这一认识最早是由希腊天文学家获得的。当时,希腊天文学家为了正确地测量天体的位置。研究天体的运行轨道,力求把天文学发展成为一门以精确的观测和正确的计算为基础之具有定量分析的科学。他们给自己提出的第一个任务是解直角三角形,因为进行天文观测时,人与星球以及大地的位置关系,通常是以直角三角形边角之间的关系反映出来的。在很早以前,希腊天文学家从天文观测的经验中获得了这样一个认识:星球距地面的高度是可以通过人观测星球时所采用的角度来反映的;角度(∠ABC)越大,星球距地面(AC)就越高。然而,星球的高度与人观测的角度之间在数量上究竟怎么样呢?能不能把各种不同的角度所反映的星球的高度都一一算出来呢?这就是天文学向数学提出的第一个课题-制造表。所谓弦表,就是在保持AB不变的情况下可以供查阅的表 (如图二),AC的长度与∠ABC的大小之间的对应关系。

独立三角学的产生:虽然后期的阿拉伯数学家已经开始对三角学进行专门的整理和研究,他们的工作也可以算作是使三角学从天文学中独立出来的表现,但是严格地说,他们并没有创立起一门独立的三角学。真正把三角学作为数学的一个独立学科加以系统叙述的,是德国数学家雷基奥蒙坦纳斯。

雷基奥蒙坦纳斯是十五世纪最有声望的德国数学家约翰谬勒的笔名。他生于哥尼斯堡,年轻时就积极从事欧洲文艺复兴时期作品的收集和翻译工作,并热心出版古希腊和阿拉伯著作。因此对阿拉伯数学家们在三角方面的工作比较了解。

1464年,他以雷基奥蒙坦纳斯的名字发表了《各种三角形》。在书中,他把以往散见在各种书上的三角学知识,系统地综合了起来,成了三角学在数学上的一个分支,

现代三角学的确认:直到十八世纪,所有的三角量:正弦余弦正切余切正割余割,都始终被认为是已知圆内与同一条弧有关的某些线段,即三角学是以几何的面貌表现出来的,这也可以说是三角学的古典面貌。三角学的现代特征,是把三角量看作为函数,即看作为是一种与角相对应的函数值。这方面的工作是由欧拉作出的。1748年,欧拉发表著名的《无穷小分析引论》一书,指出:”三角函数是一种函数线与圆半径的比值”。具体地说,任意一个角的三角函数,都可以认为是以这个角的顶点为圆心,以某定长为半径作圆,由角的一边与圆周的交点P向另一边作垂线PM后,所得的线段OPOMMP(即函数线)相互之间所取的比值(如图八),sinα=MP/OP,cosα=OM/OPtanα= MP/OM等。若令半径为单位长,那么所有的六个三角函数又可大为简化。

欧拉的这个定义使三角学从静态地只是研究三角形解法的狭隘天地中解脱了出来,使它有可能去反映运动和变化的过程,从而使三角学成为一门具有现代特征的分析性学科。正如欧拉所说,引进三角函数以后,原来意义下的正弦等三角量,都可以脱离几何图形去进行自由的运算。一切三角关系式也将很容易地从三角函数的定义出发直接得出。这样,就使得从希帕克起许多数学家为之奋斗而得出的三角关系式,有了坚实的理论依据,而且大大地丰富了。严格地说,这时才是三角学的真正确立。

在三角函数中,有一些特殊角,例如30°、45°、60°,这些角的三角函数值为简单单项式,计算中可以直接求出具体的值。

这些函数的值参见下表格:

弧度

0

π/12

π/6

π/4

π/3

π/2

2π/3

3π/4

5π/6

π

3π/2

sin值

0

[(√6)-(√2)]/4

1/2

(√2)/2

(√3)/2

1

(√3)/2

(√2)/2

0

-1

cos值

1

[(√6)+(√2)]/4

(√3)/2

-(√3)/2

-1

0

tan值

0

2-√3

(√3)/3

1

√3

-√3

-1

-(√3)/3

0

cot值

2+√3

√3

1

(√3)/3

0

-(√3)/3

-1

-√3

0

y=sin x

正弦函数

x=kπ+π/2(k∈Z)

(kπ,0)(k∈Z)

y=cos x

余弦函数

x=kπ(k∈Z)

(kπ+π/2,0)(k∈Z)

y=tan x

正切函数

(kπ/2+π/2,0)(k∈Z)

y=cot x

余切函数

(kπ/2,0)(k∈Z)

y=sec x

正割函数

x=kπ(k∈Z)

(kπ+π/2,0)(k∈Z)

y=csc x

余割函数

x=kπ+π/2(k∈Z)

(kπ,0)(k∈Z)

如果一个函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数,那么这个最小的正数就叫做f(x)的最小正周期(minimal positive period)。例如,正弦函数的最小正周期是2π。对于正弦函数y=sin x,自变量x只要并且至少增加到x+2π时,函数值才能重复取得。正弦函数和余弦函数的最小正周期是

sin(2kπ+α)=sin α

cos(2kπ+α)=cos α

tan(2kπ+α)=tan α

cot(2kπ+α)=cot α

sec(2kπ+α)=sec α

csc(2kπ+α)=csc α

sin(π+α)=-sin α

cos(π+α)=-cos α

tan(π+α)=tan α

cot(π+α)=cot α

sec(π+α)=-sec α

csc(π+α)=-csc α

sin(-α)=-sin α

cos(-α)=cos α

tan(-α)=-tan α

cot(-α)=-cot α

sec(-α)=sec α

csc(-α)=-csc α

sin(π-α)=sin α

cos(π-α)=-cos α

tan(π-α)=-tan α

cot(π-α)=-cot α

sec(π-α)=-sec α

csc(π-α)=csc α

sin(α-π)=-sin α

cos(α-π)=-cos α

tan(α-π)=tan α

cot(α-π)=cot α

sec(α-π)=-sec α

csc(α-π)=-csc α

sin(2π-α)=-sin α

cos(2π-α)=cos α

tan(2π-α)=-tan α

cot(2π-α)=-cot α

sec(2π-α)=sec α

csc(2π-α)=-csc α

sin(π/2+α)=cosα

cos(π/2+α)=sinα

tan(π/2+α)=-cotα

cot(π/2+α)=-tanα

sec(π/2+α)=-cscα

csc(π/2+α)=secα

sin(π/2-α)=cosα

cos(π/2-α)=sinα

tan(π/2-α)=cotα

cot(π/2-α)=tanα

sec(π/2-α)=cscα

csc(π/2-α)=secα

sin(3π/2+α)=-cosα

cos(3π/2+α)=sinα

tan(3π/2+α)=-cotα

cot(3π/2+α)=-tanα

sec(3π/2+α)=-cscα

csc(3π/2+α)=secα

sin(3π/2-α)=-cosα

cos(3π/2-α)=-sinα

tan(3π/2-α)=cotα

cot(3π/2-α)=tanα

sec(3π/2-α)=-cscα

csc(3π/2-α)=-secα

定名法则

90°的奇数倍+α的三角函数,其绝对值与α三角函数的绝对值互为余函数。90°的偶数倍+α的三角函数与α的三角函数绝对值相同。也就是“奇余偶同,奇变偶不变”。

定号法则

将α看做锐角(注意是“看做”),按所得的角的象限,取三角函数的符号。也就是“象限定号,符号看象限”(或为“奇变偶不变,符号看象限”)。

在Kπ/2中如果K为偶数时函数名不变,若为奇数时函数名变为相反的函数名。正负号看原函数中α所在象限的正负号。关于正负号有个口诀;一全正,二正弦,三两切,四余弦,即第一象限全部为正,第二象限角,正弦为正,第三象限,正切和余切为正,第四象限,余弦为正。或简写为“ASTC”,即“all”“sin”“tan+cot”“cos”依次为正。还可简记为:sin上cos右tan/cot对角,即sin的正值都在x轴上方,cos的正值都在y轴右方,tan/cot 的正值斜着。

比如:90°+α。定名:90°是90°的奇数倍,所以应取余函数;定号:将α看做锐角,那么90°+α是第二象限角,第二象限角的正弦为正,余弦为负。所以sin(90°+α)=cosα , cos(90°+α)=-sinα 这个非常神奇,屡试不爽~

还有一个口诀“纵变横不变,符号看象限”,例如:sin(90°+α),90°的终边在纵轴上,所以函数名变为相反的函数名,即cos,所以sin(90°+α)=cosα。

内容

证明

取直角坐标系,作单位圆;取一点A,连接OA,与X轴的夹角为α; 取一点B,连接OB,与X轴的夹角为β, 则OA与OB的夹角即为α-β

∵A(cosα,sinα),B (cosβ,sinβ),O(0,0)

OA=(cosα,sinα),OB=(cosβ,sinβ)(向量

∴OAOB=|OA| |OB| cos (α-β) =cos α cos β + sin α sin β

∵|OA| = |OB| = 1

∴cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ

取β=-β,可得cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ

以上内容来自:

sin(3α) = 3sinα-4sin^3α = 4sinαsin(60°+α)sin(60°-α)

cos(3α) = 4cos^3α-3cosα = 4cosαcos(60°+α)cos(60°-α)

tan(3α) = (3tanα-tan^3α)/(1-3tanα) = tanαtan(π/3+α)tan(π/3-α)

cot(3α)=(cot^3α-3cotα)/(3cotα-1)

根据欧拉公式(cosθ+isinθ)^n=cosnθ+isinnθ

将左边用二项式定理展开分别整理实部和虚部可以得到下面两组公式

sin(nα)=ncos^(n-1)αsinα-C(n,3)cos^(n-3)αsin^3α+C(n,5)cos^(n-5)αsin^5α-…

cos(nα)=cos^nα-C(n,2)cos^(n-2)αsin^2α+C(n,4)cos^(n-4)αsin^4α

sin(α/2)=±√[(1-cosα)/2]

cos(α/2)=±√[(1+cosα)/2]

tan(α/2)=±√[(1-cosα)/(1+cosα)]=sinα/(1+cosα)=(1-cosα)/sinα=cscα-cotα

cot(α/2)=±√[(1+cosα)/(1-cosα)]=(1+cosα)/sinα=sinα/(1-cosα)=cscα+cotα

sec(α/2)=±√[(2secα/(secα+1)]

csc(α/2)=±√[(2secα/(secα-1)]

公式:

(其中φ满足

sina=[2tan(a/2)]/[1+tan(a/2)]

cosa=[1-tan(a/2)]/[1+tan(a/2)]

tana=[2tan(a/2)]/[1-tan(a/2)]

sinα=[1-cos(2α)]/2

cosα=[1+cos(2α)]/2

tanα=[1-cos(2α)]/[1+cos(2α)]

sin(α+β+γ)=sinαcosβcosγ+cosαsinβcosγ+cosαcosβsinγ-sinαsinβsinγ

cos(α+β+γ)=cosαcosβcosγ-cosαsinβsinγ-sinαcosβsinγ-sinαsinβcosγ

tan(α+β+γ)=(tanα+tanβ+tanγ-tanαtanβtanγ)÷(1-tanαtanβ-tanβtanγ-tanγtanα)

c0+c1x+c2x2+...+cnxn+...=∑cnxn (n=0..∞)

c0+c1(x-a)+c2(x-a)2+...+cn(x-a)n+...=∑cn(x-a)n (n=0..∞)

它们的各项都是正整数幂的幂函数, 其中c0,c1,c2,...cn...及a都是常数, 这种级数称为幂级数。

泰勒展开式又叫幂级数展开法

f(x)=f(a)+f'(a)/1!*(x-a)+f''(a)/2!*(x-a)2+...+f(n)(a)/n!*(x-a)n+…

实用幂级数:

ex = 1+x+x2/2!+x3/3!+…+xn/n!+…,x∈R

ln(1+x)=x-x2/2+x3/3-…+(-1)k-1xk/k, x∈(-1,1)

sin x = x-x3/3!+x5/5!-…+(-1)k-1x2k-1/(2k-1)!+…, x∈R

cos x = 1-x2/2!+x4/4!-…+(-1)kx2k/(2k)!+…, x∈R

arcsin x = x + x3/(2*3) + (1*3)x5/(2*4*5) + (1*3*5)x7/(2*4*6*7)…+(2k+1)!!*x2k+1/(2k!!*(2k+1))+…, x∈(-1,1)(!!表示双阶乘)

arccos x = π/2 -[x + x3/(2*3) + (1*3)x5/(2*4*5) + (1*3*5)x7/(2*4*6*7)……], x∈(-1,1)

arctan x = x - x3/3 + x5/5 -…, x∈(-∞,1)

sinh x = x+x3/3!+x^/5!+…+x2k-1/(2k-1)!+…, x∈R

cosh x = 1+x2/2!+x^4/4!+…+x2k/(2k)!+…, x∈R

arcsinh x =x - x3/(2*3) + (1*3)x5/(2*4*5) -(1*3*5)x7/(2*4*6*7)…, x∈(-1,1)

arctanh x = x + x3/3 + x5/5 + …, x∈(-1,1)

在解初等三角函数时,只需记住公式便可轻松作答,在竞赛中,往往会用到与图像结合的方法求三角函数值、三角函数不等式、面积等等。

傅里叶级数又称三角级数

f(x)=a0/2+∑(n=0..∞) (ancosnx+bnsinnx)

a0=1/π∫(π..-π) (f(x))dx

an=1/π∫(π..-π) (f(x)cosnx)dx

bn=1/π∫(π..-π) (f(x)sinnx)dx

sin(x),cos(x)的定义域为R,值域为[-1,1]。

tan(x)的定义域为x不等于π/2+kπ(k∈Z),值域为R。

cot(x)的定义域为x不等于kπ(k∈Z),值域为R。

y=asin(x)+bcos(x)+c 的值域为 [ c-√(a&sup2;+b&sup2;) , c+√(a&sup2;+b&sup2;)]

周期T=2π/ω

以y=sinx的图像为例,得到y=Asin(ωx+φ)的图像:

方法一:

y=sinx→【左移(φ>0)/右移(φ<0) φ个单位】 →y=sin(x+φ)→【纵坐标不变,横坐标伸缩到原来的(1/ω)】→y=sin(ωx+φ)

方法二:

y=sinx→【纵坐标不变,横坐标伸缩到原来的(1/ω)】→y=sinωx→【左移(φ>0)/右移(φ<0)φ/ω 个单位】→y=sin(ωx+φ) →【纵坐标变为原来的A倍(伸长[A>1] / 缩短[0<A<1])】→ y=Asin(ωx+φ)

如果角a的余弦值为1/2,那么a/2的余弦值为√3/2.

三角函数的反函数,是多值函数。它们是反正弦arcsin x,反余弦arccos x,反正切arctan x,反余切arccot x等,各自表示其正弦、余弦、正切、余切、正割、余割为x的角。为限制反三角函数单值函数,将反正弦函数的值y限在y=-π/2≤y≤π/2,将y为反正弦函数的主值,记为y=arcsin x;相应地,反余弦函数y=arccos x的主值限在0≤y≤π;反正切函数y=arctan x的主值限在-π/2<y<π/2;反余切函数y=arccot x的主值限在0<y<π。

反三角函数实际上并不能叫做函数,因为它并不满足一个自变量对应一个函数值的要求,其图像与其原函数关于函数y=x对称。其概念首先由欧拉提出,并且首先使用了arc+函数名的形式表示反三角函数,而不是f-1(x).

反三角函数主要是三个:

y=arcsin(x),定义域[-1,1],值域[-π/2,π/2],图象用红色线条;

y=arccos(x),定义域[-1,1],值域[0,π],图象用蓝色线条;

y=arctan(x),定义域(-∞,+∞),值域(-π/2,π/2),图象用绿色线条;

sinarcsin(x)=x,定义域[-1,1],值域 [-π/2,π/2]

证明方法如下:设arcsin(x)=y,则sin(y)=x ,将这两个式子代入上式即可得

其他几个用类似方法可得。

高等代数中三角函数的指数表示(由泰勒级数易得):

sinz=[e^(iz)-e^(-iz)]/(2i)

cosz=[e^(iz)+e^(-iz)]/2

tanx=[e^(iz)-e^(-iz)]/[ie^(iz)+ie^(-iz)]

泰勒展开有无穷级数,e^z=exp(z)=1+z/1!+z/2!+z^3/3!+z^4/4!+…+z^n/n!+…

此时三角函数定义域已推广至整个复数集。

三角函数作为微分方程的解:

对于微分方程组 y=-y'';y=y'''',有通解Q,可证明

Q=Asinx+Bcosx,因此也可以从此出发定义三角函数。

补充:由相应的指数表示我们可以定义一种类似的函数--双曲函数,其拥有很多与三角函数的类似的性质,二者相映成趣。

(1)对于z为实数y来说,复数域内正余弦函数的性质与通常所说的正余弦函数性质是一样的。

(2)复数域内正余弦函数在z平面是解析的。

(3)在复数域内不能再断言|sinz|1,|cosz|1。

(4)sinz、cosz分别为奇函数偶函数,且以2π为周期。

复数三角函数

sin(a+bi)=sinacosbi+sinbicosa

=sinachb+ishbcosa

cos(a-bi)=cosacosbi+sinbisina

=cosachb+ishbsina

tan(a+bi)=sin(a+bi)/cos(a+bi)

cot(a+bi)=cos(a+bi)/sin(a+bi)

sec(a+bi)=1/cos(a+bi)

csc(a+bi)=1/sin(a+bi)

三角函数,正如其名称那样,在三角学中是十分重要的,主要是因为正弦定理与余弦定理。

同时在解决物理中的力学问题时也很重要,主要在于力与力之间的转换,并列出平衡方程。

对于边长为a,bc而相应角为A,BC的三角形,有:

sinA / a = sinB / b = sinC/c

也可表示为:

a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R

变形:a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC

其中R是三角形的外接圆半径。

它可以通过把三角形分为两个直角三角形并使用上述正弦的定义来证明。在这个定理中出现的公共数 (sinA)/a是通过A,BC三点的圆的直径的倒数。正弦定理用于在一个三角形中(1)已知两个角和一个边求未知边和角(2)已知两边及其一边的对角求其他角和边的问题。这是三角测量中常见情况。

三角函数正弦定理可用于求得三角形的面积:

S=1/2absinC=1/2bcsinA=1/2acsinB

对于边长为a、b、c而相应角为A、B、C的三角形,有:

a = b + c- 2bccosA

b = a + c - 2accosB

c = a + b - 2abcosC

也可表示为:

cosC=(a +b -c)/ 2ab

cosB=(a +c -b)/ 2ac

cosA=(c +b -a)/ 2bc

这个定理也可以通过把三角形分为两个直角三角形来证明。余弦定理用于在一个三角形的两个边和一个角已知时确定未知的数据。

如果这个角不是两条边的夹角,那么三角形可能不是唯一的(边-边-角)。要小心余弦定理的这种歧义情况。

物理力学方面的平行四边形定则中也会用到相关知识。

延伸定理:第一余弦定理(任意三角形射影定理)

设△ABC的三边是a、b、c,它们所对的角分别是A、B、C,则有

a=bcos C+ccos B, b=ccos A+acos C, c=acos B+bcos A

对于边长为a,bc而相应角为A,BC的三角形,有:

三角形中任意一边等于其他两边以及对应角余弦的交叉乘积的和,即a=c cosB + b cosC

对于任意非直角三角形中,如三角形ABC,总有tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC

证明:

已知(A+B)=(π-C)

所以tan(A+B)=tan(π-C)

则(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC)

整理可得

tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC

类似地,我们同样也可以求证:当α+β+γ=nπ(n∈Z)时,总有tanα+tanβ+tanγ=tanαtanβtanγ。

三角函数是函数,象限符号坐标注。函数图象单位圆,周期奇偶增减现。

同角关系很重要,化简证明都需要。正六边形顶点处,从上到下弦切割;

中心记上数字一,连结顶点三角形。向下三角平方和,倒数关系是对角,

顶点任意一函数,等于后面两根除。诱导公式就是好,负化正后大化小,

变成锐角好查表,化简证明少不了。二的一半整数倍,奇数化余偶不变,

将其后者视锐角,符号原来函数判。两角和的余弦值,化为单角好求值,

余弦积减正弦积,换角变形众公式。和差化积须同名,互余角度变名称。

计算证明角先行,注意结构函数名,保持基本量不变,繁难向着简易变。

逆反原则作指导,升幂降次和差积。条件等式的证明,方程思想指路明。

万能公式不一般,化为有理式居先。公式顺用和逆用,变形运用加巧用;

一加余弦想余弦,一减余弦想正弦,幂升一次角减半,升幂降次它为范;

三角函数反函数,实质就是求角度,先求三角函数值,再判角取值范围;

利用直角三角形,形象直观好换名,简单三角的方程,化为最简求解集。

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