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极坐标

在平面内取一个定点O,叫极点,引一条射线Ox,叫做极轴,再选定一个长度单位和角度的正方向(通常取逆时针方向)。对于平面内任何一点M,用ρ表示线段OM的长度(有时也用r表示),θ表示从Ox到OM的角度,ρ叫做点M的极径,θ叫做点M的极角,有序数对 (ρ,θ)就叫点M的极坐标,这样建立的坐标系叫做极坐标系。通常情况下,M的极径坐标单位为1(长度单位),极角坐标单位为rad(或°)。

众所周知,希腊人最早使用了角度和弧度的概念。天文学家喜帕恰斯(190-120 BC)制成了一张求各角所对的弦长函数的表格。并且,曾有人引用了他的极坐标系来确定恒星位置。在螺线方面,阿基米德描述了他的著名的螺线,一个半径随角度变化的方程。希腊人作出了贡献,尽管最终并没有建立整个坐标系统。 [1]

关于是谁首次将极坐标系应用为一个正式的坐标系统,流传着有多种观点。关于这一问题的较详尽历史,哈佛大学教授朱利安科利奇(Julian Coolidge)的《极坐标系起源》作了阐述。格雷瓜德圣-万桑特(Grégoire de Saint-Vincent)和博纳文图拉卡瓦列里,被认为在几乎同时、并独立地各自引入了极坐标系这一概念。圣-万桑特在1625年的私人文稿中进行了论述并发表于1647年,而卡瓦列里在1635进行了发表,而后又于1653年进行了更正。卡瓦列里首次利用极坐标系来解决一个关于阿基米德螺线内的面积问题。布莱士帕斯卡随后使用极坐标系来计算抛物线的长度。 [2]

在1671年写成,1736年出版的《流数术和无穷级数》(Method of Fluxions)一书中,艾萨克牛顿第一个将极坐标系应用于表示平面上的任何一点。牛顿在书中验证了极坐标和其他九种坐标系的变换关系。在1691年出版的《博学通报》(Acta eruditorum,Acta eruditorum)一书中雅各布伯努利正式使用定点和从定点引出的一条射线,定点称为极点,射线称为极轴。平面内任何一点的坐标都通过该点与定点的距离和与极轴的夹角来表示。伯努利通过极坐标系对曲线的曲率半径进行了研究。

实际上应用“极坐标”(polar coordinate system)这个术语的是由格雷古廖丰塔纳(Gregorio Fontana)开始的,并且被18世纪的意大利数学家所使用。该术语是由乔治皮科克(George Peacock)在1816年翻译席维斯拉克鲁克斯(Sylvestre Franois Lacroix)的《微分学与积分学》(Traité du calcul différentiel et du calcul intégral)一书时,被翻译为英语的。 [3]

亚历克西斯克莱罗和莱昂哈德欧拉被认为是将平面极坐标系扩展到三维空间的数学家。

过点M作轴Ox的垂线,垂足M'叫做点M的极坐标射影点,记作

在极坐标系Ox中,以O为原点Ox为x轴正方向建立平面Rt坐标系xOy。矢量

从极坐标

第一个用极坐标来确定平面上点的位置的是牛顿。他的《流数法与无穷级数》,大约于1671年写成,出版于1736年。此书包括解析几何的许多应用,例如按方程描出曲线。书中创建之一,是引进新的坐标系。17甚至18世纪的人,一般只用一根坐标轴(x轴),其y值是沿着与x轴成直角或斜角的方向画出的。牛顿所引进的坐标之一,是用一个固定点和通过此点的一条直线作标准,例如我们使用的极坐标系。牛顿还引进了双极坐标,其中每点的位置决定于它到两个固定点的距离。由于牛顿的这个工作直到1736年才为人们所发现,而瑞士数学家J.贝努利于1691年在《教师学报》上发表了一篇基本上是关于极坐标的文章,所以通常认为J.贝努利是极坐标的发现者。J.贝努利的学生J.赫尔曼在1729年不仅正式宣布了极坐标的普遍可用,而且自由地应用极坐标去研究曲线。他还给出了从直角坐标到极坐标的变换公式。确切地讲,J赫尔曼把cosθ,sinθ当作变量来使用,而且用n和m来表示cosθ和sinθ欧拉扩充了极坐标的使用范围,而且明确地使用三角函数的记号;欧拉那个时候的极坐标系实际上就是现代的极坐标系。

有些几何轨迹问题如果用极坐标法处理,它的方程比用直角坐标法来得简单,描图也较方便。1694年,J.贝努利利用极坐标引进了双纽线,这曲线在18世纪起了相当大的作用。

在极坐标中,x被ρcosθ代替,y被ρsinθ代替。ρ2=(x2+y2)

极坐标系是一个二维坐标系统。该坐标系统中的点由一个夹角和一段相对中心点极点(相当于我们较为熟知的直角坐标系中的原点)的距离来表示。极坐标系的应用领域十分广泛,包括数学、物理、工程、航海以及机器人领域。在两点间的关系用夹角和距离很容易表示时,极坐标系便显得尤为有用;而在平面直角坐标系中,这样的关系就只能使用三角函数来表示。对于很多类型的曲线,极坐标方程是最简单的表达形式,甚至对于某些曲线来说,只有极坐标方程能够表示。

如何表示点

正如所有的二维坐标系,极坐标系也有两个坐标轴:r(半径坐标)和θ(角坐标、极角或方位角,有时也表示为φ或t)。r坐标表示与极点的距离,θ坐标表示按逆时针方向坐标距离0°射线(有时也称作极轴)的角度,极轴就是在平面直角坐标系中的x轴正方向。

比如,极坐标中的(3,60°)表示了一个距离极点3个单位长度、和极轴夹角为60°的点。(3,240°) 和(3,60°)表示了同一点,因为该点的半径为在夹角射线反向延长线上距离极点3个单位长度的地方(240° 180° = 60°)。

极坐标系中一个重要的特性是,平面直角坐标中的任意一点,可以在极坐标系中有无限种表达形式。通常来说,点(r,θ)可以任意表示为(r,θ ± 2kπ)或(r,θ ± (2k+ 1)π),这里k是任意整数。[7] 如果某一点的r坐标为0,那么无论θ取何值,该点的位置都落在了极点上。

使用弧度单位

极坐标系中的角度通常表示为角度或者弧度,使用公式2π rad = 360°.具体使用哪一种方式,基本都是由使用场合而定。航海(en:Navigation)方面经常使用角度来进行测量,而物理学的某些领域大量使用到了半径和圆周的比来作运算,所以物理方面更倾向使用弧度。

两坐标系转换

极坐标系中的两个坐标r和θ可以由下面的公式转换为直角坐标系下的坐标值

x = rcos(θ),

y = rsin(θ),

由上述二公式,可得到从直角坐标系中x和y两坐标如何计算出极坐标下的坐标:

在x = 0的情况下:若y为正数θ = 90° (

用极坐标系描述的曲线方程称作极坐标方程,通常用来表示ρ为自变量θ的函数。

极坐标方程经常会表现出不同的对称形式,如果ρ(θ)= ρ(θ),则曲线关于极点(0°/180°)对称,如果ρ(π-θ)= ρ(θ),则曲线关于极点(90°/270°)对称,如果ρ(θα)= ρ(θ),则曲线相当于从极点逆时针方向旋转α°。

在极坐标系中,圆心在(r,φ)半径为r的圆的方程为

ρ=2rcos(θ-φ)

另:圆心M(ρ',θ') 半径r 的圆的极坐标方程为:

(ρ')22-2ρρ'cos(θ-θ')=r2

根据余弦定理可推得。

直线

经过极点的射线由如下方程表示

θ = φ,

其中φ为射线的倾斜角度,若m为直角坐标系的射线的斜率,则有φ = arctan m。任何不经过极点的直线都会与某条射线垂直。这些在点(r′,φ)处的直线与射线θ = φ 垂直,其方程为r′(θ)= r′sec(θ - φ)。

玫瑰线

极坐标的玫瑰线(polar rose)是数学曲线中非常著名的曲线,看上去像花瓣,它只能用极坐标方程来描述,方程如下:

r(θ)= acos kθ

或r(θ)= asin kθ,

如果k是整数,当k是奇数时那么曲线将会是k个花瓣,当k是偶数时曲线将是2k个花瓣。如果k为非整数,将产生圆盘(disc)状图形,且花瓣数也为非整数。注意:该方程不可能产生4的倍数加2(如2,6,10……)个花瓣。变量a代表玫瑰线花瓣的长度。

阿基米德螺线

右图为方程r(θ)= θ for 0 < θ < 6π的一条阿基米德螺线

阿基米德螺线在极坐标里使用以下方程表示:r(θ)= a+bθ,

改变参数a将改变螺线形状,b控制螺线间距离,通常其为常量。阿基米德螺线有两条螺线,一条θ > 0,另一条θ < 0。两条螺线在极点处平滑地连接。把其中一条翻转90°/270°得到其镜像,就是另一条螺线。

圆锥曲线

圆锥曲线方程如下:

其中l表示半径,e表示离心率。如果e < 1,曲线为椭圆,如果e = 1,曲线为抛物线,如果e > 1,则表示双曲线。

或者

其中e表示离心率p表示焦点到准线的距离。

其他曲线

由于坐标系统是基于圆环的,所以许多有关曲线的方程,极坐标要比直角坐标系(笛卡儿坐标系)简单得多。比如双纽线心脏线 [5]

行星运动的开普勒定律

开普勒第一定律:太阳系中的所有行星围绕太阳运动的轨道都是椭圆,太阳处在所有椭圆的一个焦点上。

开普勒第二定律:极坐标提供了一个表达开普勒行星运行定律的自然数的方法。开普勒第一定律,认为环绕一颗恒星运行的行星轨道形成了一个椭圆,这个椭圆的一个焦点在质心上。上面所给出的二次曲线部分的等式可用于表达这个椭圆。开普勒第二定律,即等域定律,认为连接行星和它所环绕的恒星的线在等时间间隔所划出的区域是面积相等的,即ΔA/Δt是常量。这些等式可由牛顿运动定律推得。在开普勒行星运动定律中有相关运用极坐标的详细推导。

根据上式,可以将二重积分从直角坐标变换为极坐标,如下: [6]

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