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球面三角学

球面三角学是球面几何学的一部分,主要在处理、发现和解释多边形 (特别是三角形) 在球面上的角与边的联系和关联。在天文学上的重要性是用于计算天体轨道和地球表面与太空航行时的天文导航。

在球壳的表面,最短的距离是大圆上接近直线的弧线,也就是圆弧的圆心与球壳的球心是同一点。例如:地球上的子午线赤道都是大圆。所谓行星表面的直线,就是球面上两点之间最近距离的大圆弧线(如果你把自己拘束在球面上的直线上)。(参看:大地测量学)

球面多边形

在球面上,由大圆所包围的区域称为球面多边形,但要注意,不同于平面上的情形,在球面上’双角’是可能存在的。(两个弧夹出两个角的三角形类似物)(可由剥橘子时剥下来的橘子皮想像)

这些多边形的边长(弧长),可以利用球心角很方便的来测定,将弧的两端所对应的球心角乘上半径便是边长。要注意的是,这些角都必须用径度量来量度。.

因此,对一个球面三角形而言,是由他的弧长与球心角来具体描述的,只是弧的长度是用径度量来标示。

值得注意的是,球面三角形的三个内角的和总是大于180°,但在平面上只有180°。超过180°的数值称为球面剩馀 E:E = α + β + γ - 180°,这些结馀给出了球面三角形的面积。确定这个值,球面剩馀必须以径度量来测定,表面积A依据球面的半径和球面剩馀来测量:

A =

要解球面几何的问题,要点是能剖析出其中的直角三角形(三个角中有一个是90°),因为这样就可以利用纳皮尔多边形求解。

纳皮尔的圆周显示直角三角形的部份关联性

利用纳皮尔多边形(也称为纳皮尔圆周)的口诀可以很轻易的记住球面直角三角形的所有关联性: 以他们出现于球面三角形的顺序,依照相邻的边角关系,依序将三角形的六个角写在一个圈子内,也就是开始以一个角度开始,然后在它旁边写上相邻的边的弧角度,继续再写下下一个角度,,最后结束成一个圆。然后删除90°的角角度并且将它相邻的弧角度替换成他们补角的数值(与原角弧度之和为90°) (也就是将 a 换成 90° a)。这五个数组成了我们需要的纳皮尔多边形(纳皮尔圆周),从这儿,可以得到每个角度的馀弦值等于:

相邻两角度的馀切的乘积相对两角度的正弦的乘积可以参考半正矢(Haversine formula),能在球面三角上解析弧长与角度,为航海学提供了稳定的模式。

球面上过球心的平面与球面的交线叫球面上的大圆弧,球面三角形是球面上三个大圆弧所构成的闭合图形。如图2所示。这三个大圆弧叫做球面三角形的边,用小写字母a、b、c表示,各大圆弧组成的球面角.叫做球面三角形的角.用大写字母A、B、C表示。

将球面三角形ABC的各顶点与球心O连接,构成球心三面形O一ABC,由于圆的圆心角与所对的弧同度,如图2所示,则有:a=∠BOC,b=∠AOC,c=∠AOB.又知:A=∠TAT',B=∠EBE',C=∠FCF'.所以,球面三角形的边与所对应的球心三面角同度,球面三角形的角与球心三面角同度。

例如球面三角形三个角都是

球面三角形三内角之和与平面三角形三内角之和的差叫做球面角超

球面角超

如上例,球面三角形三个角都是

球面三角形的基本公式

球面三角形的基本公式(又叫基本定理)有正弦公式、边的余弦公式、角的余弦公式、余切公式、五元素公式等。除正弦公式外,每一类公式仅举一例如下。

如图1所示的球面三角形中,正弦公式有:

边的余弦公式有:

角的余弦公式有:

余切公式有:

五元素公式有:

解算球面直角三角形公式

球面三角形中只要有一个角等于

已知两直角边b、c,求斜边a:

已知斜边a和一直角边b,求直角边b所对应的角度B:

已知两锐角B、C,求B、C所夹的斜边a:

解算球面斜三角形公式

解算球面斜三角形公式多为半角函数公式。设

正切定理:

半球面角超的正弦定理:

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