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欧几里德空间

欧氏空间是一个特别的度量空间,它使得我们能够对其的拓扑性质,在包含了欧氏几何非欧几何流形的定义上发挥了作用。

约在公元前300年,古希腊数学家欧几里得建立了空间中距离之间联系的法则,现称为欧几里得几何。欧几里得首先开发了处理平面上二维物体的“平面几何”,他接着分析三维物体的“立体几何”,所有欧几里得的公理已被编排到叫做二维或三维欧几里得空间的抽象数学空间中。

这些数学空间可以被扩展来应用于任何有限维度,而这种空间叫做n维欧几里得空间(甚至简称n维空间)或有限维实内积空间

这些数学空间还可被扩展到任意维的情形,称为内积空间(不一定完备),希尔伯特空间高等代数教科书中也被称为欧几里得空间。 为了开发更高维的欧几里得空间,空间的性质必须严密地表达并被扩展到任意维度。尽管这样做的结果导致数学非常抽象,但却捕获了我们熟悉的欧几里得空间的根本本质,即平面性。还另存在其他种类的空间,例如球面则非欧几里得空间,相对论所描述的四维时空在重力出现的时候也不是欧几里得空间。

有一种方法论把欧几里得平面看作满足可依据距离和角表达的特定联系的点所成的集合。其一是平移,它意味着移动这个平面就使得所有点都以相同方向移动相同距离。其二是关于在这个平面中固定点的旋转,其中在平面上的所有点关于这个固定点旋转相同的角度。欧几里得几何的一个基本原则是,如果通过一序列的平移和旋转可以把一个图形变换成另一个图形,平面的两个图形(也就是子集)应被认为是等价的(全等)。(参见欧几里得群)。

欧几里得空间的最后问题是它在技术上不是向量空间,而是向量空间作用于其上仿射空间。直觉上,区别在于对于原点应当位于这个空间的什么地方没有标准选择,因为它可以到处移动。这种技术本文中很大程度上被忽略了。

欧几里德空间(Euclidean Space),简称为欧氏空间(也可以称为平直空间),在数学中是对欧几里德所研究的2维和3维空间的一般化。这个一般化把欧几里德对于距离、以及相关的概念长度和角度,转换成任意数维的坐标系。这是有限维、实和内积空间的“标准”例子。 欧氏空间是一个特别的度量空间,它使得我们能够对其的拓扑性质,例如紧性加以调查。内积空间是对欧氏空间的一般化。内积空间和度量空间都在泛函分析中得到了探讨。

欧几里德空间在对包含了欧氏几何和非欧几何的流形的定义上发挥了作用。一个定义距离函数的数学动机是为了定义空间中围绕点的开球。这一基本的概念正当化了在欧氏空间和其他流形之间的微分。微分几何把微分,会同导入机动性手法,局部欧氏空间,探讨了非欧氏流形的许多性质。

欧几里德空间是4维或N维的理论无穷大的空间。

设V是实数域R上的线性空间(或称为向量空间),若V上定义着正定对称双线性型g(g称为内积),则V称为(对于g的)内积空间或欧几里德空间(有时仅当V是有限维时,才称为欧几里德空间)。 具体来说,g是V上的二元实值函数,满足如下关系:

(1)g(x,y)=g(y,x);

(2)g(x+y,z)=g(x,z)+g(y,z);

(3)g(kx,y)=kg(x,y);

(4)g(x,x)>=0,而且g(x,x)=0当且仅当x=0时成立。

这里x,y,z是V中任意向量,k是任意实数

例子:

1. (经典欧几里德空间E^n)在n维实向量空间R^n中定义内积(x,y)=x_1y_1+...+x_ny_n,则R^n为欧几里德空间。(事实上,任意一个n维欧几里德空间V等距同构于E^n。)

2. 设V是[0,1]区间上连续实函数全体,则V是R上线性空间,对于如下内积是欧几里德空间:(f,g)定义为fg在[0,1]区间上的积分值。

四维空间被称为标准欧几里得空间,可以拓展到n维;四维时空指的是闵可夫斯基空间概念的一种误解。人类作为三维物体可以理解四维时空(三个空间维度和一个时间维度)但无法认识以及存在于四维空间,因为人类属于第三个空间维度生物。通常所说时间是第四维即四维时空下的时间维度。四维空间的第四维指与x,y,z同一性质的空间维度。然而四维时空并不是标准欧几里得空间,时间的本质是描述运动的快慢。

通过一维、二维、三维空间的演变,人们提出了关于四维空间的以一些猜想。尽管这些猜想现在并不能证明是正确的,但科学理论有很多是有猜想开始的。现今科学理论一般是基于现象总结规律,而关于四维空间的现象没有足够准确清晰的认识,或者看到了这种现象却并没有想到是四维空间引起的。

亚历山大里亚的欧几里德(希腊文:Ευκλειδη ,约公元前330年前275年),古希腊数学家,被称为“几何之父”。他活跃于托勒密一世(公元前323年-前283年)时期的亚历山大里亚,他最著名的著作《几何原本》是欧洲数学的基础,提出五大公设,发展欧几里德几何,被广泛的认为是历史上最成功的教科书。 欧几里得也写了一些关于透视、圆锥曲线球面几何学及数论的作品。

欧几里德生于雅典,当时雅典就是古希腊文明的中心。浓郁的文化气氛深深地感染了欧几里得,当他还是个十几岁的少年时,就迫不及待地想进入“柏拉图学园”学习。

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