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度量空间

度量空间(Metric Space),在数学中是指一个集合,并且该集合中的任意元素之间的距离是可定义的。

亦称距离空间。一类特殊的拓扑空间弗雷歇(Fréchet,M.-R.)将欧几里得空间的距离概念抽象化,于1906年定义了度量空间。

在度量空间中,紧性、可数紧性、序列紧性、子集紧性是一致的。可分性、遗传可分性、第二可数性、林德勒夫性是一致的。度量空间必满足第一可数公理,是豪斯多夫空间,完全正规空间,仿紧空间。伪度量空间满足第一可数公理,但一般不是豪斯多夫空间

现代数学中一种基本的、重要的、最接近于欧几里得空间的抽象空间。19世纪末叶,德国数学家G.康托尔创立了集合论,为各种抽象空间的建立奠定了基础。20世纪初期,法国数学家M.R.弗雷歇发现许多分析学的成果从更抽象的观点看来,都涉及函数间的距离关系,从而抽象出度量空间的概念。

度量空间中最符合我们对于现实直观理解的是三维欧氏空间。这个空间中的欧几里德度量定义两点之间距离为连接这两点的线段的长度。

设X为一个集合,一个映射d:X×X→R。若对于任何x,y,z属于X,有

(I)(正定性)d(x,y)≥0,且d(x,y)=0当且仅当x = y;

(Ⅱ)(对称性)d(x,y)=d(y,x);

(Ⅲ)(三角不等式)d(x,z)≤d(x,y)+d(y,z)

则称d为集合X的一个度量(或距离)。称偶对(X,d)为一个度量空间,或者称X为一个对于度量d而言的度量空间。

度量空间亦称距离空间。一种拓扑空间,其上的拓扑由距离决定。设R是一个非空集合,ρ(x,y)是R上的二元函数,满足如下条件:

1.ρ(x,y)≥0且ρ(x,y)=0x=y;

2.ρ(x,y)=ρ(y,x);

3.(三角不等式)ρ(x,y)≤ρ(x,z)+ρ(y,z);

则称ρ(x,y)为两点x,y之间的距离,R按距离ρ成为度量空间或距离空间,记为(R,ρ).设A是R的子集,则A按R中的距离ρ也成为度量空间,称为R的(度量)子空间.如果把上述距离的条件1改为ρ(x,y)≥0且ρ(x,x)=0,则称ρ为R上的拟距离.当ρ(x,y)=0时,记x~y.~是R上的一个等价关系,记商集(即等价类全体)为D=R/~,在D上作二元函数ρ~:ρ~(x~,y~)=ρ(x,y)(x∈x~,y∈y~),则ρ~是D上的距离,而(D,ρ~)称为R按拟距离ρ导出的商(度量)空间.

度量空间(R,ρ)中的子集A称为有界的,如果对x0∈R,存在常数M,使ρ(x0,x)≤M对A中的一切x成立.设x0∈R,r>0,则称集合{x|x∈R,ρ(x,x0)<r}为以x0为中心,r为半径的开球,或x0的r邻域,记为O(x0,r).又设AR,若对任何x∈A,存在x的某个邻域O(x,r)A,则A称为开集;而称开集的补集为闭集.R中包含子集A的最小闭集就称为A的闭包

度量空间是弗雷歇(Fréchet,M.-R.)于1906年引进的,它是现代数学中的一种基本而重要并且非常接近于欧几里得空间的抽象空间,也是泛函分析的基础之一。

设X为任一非空集合,定义映射d:X×X→R如下

⑴对于X中任意元素x,d(x,x)=0;

⑵如果x,y是X中两个不同元素,则d(x,y)=1.

则这样定义的d满足(I)(Ⅱ)(Ⅲ),是集合X的一个度量。这样的度量称为离散度量。

证明:度量空间中收敛序列的极限是唯一的

设{a_n}收敛于a且收敛于b。则对任意u>0,存在N使得对n>N有d(a_n,a)<u/2且d(a_n,b)<u/2,所以d(a,b)<=d(a_n,a)+d(a_n,b)<u/2+u/2=u。d(a,b)为非负常数,且小于任一正数u>0,故必有d(a,b)=0,所以a=b

由所有的 n元实数组(x1,x2,…,xn)构成集合Rn,Rn中元素x=(x1,x2,…,xn)

与y=(y1,y2,…,yn)之间的距离定义为

其中R表示实数集合。定义元素x=(x1x2,…,xn,…)及y=(y1,y2,…,yn…)之间的距离为

B={(x1,x2,…,xn,…)│(xn∈R,n=1,2,…)}对于两个不同的元素x=(x1,x2,…,xn,…)及y=(y1,y2,…,yn,…),用m(x,y)表示满足 xn≠yn的最小标号n,定义x与y之间的距离为:

再规定d(x,x)=0(x∈B)。一般假设Ω是任意一个集合,取X={(x1,x2,…xn,…)|xn∈Ω),可以按同样的方法定义m(x,y)与d(x,y),得到的度量空间也称作贝尔空间。

处理分析问题时,根据具体情况需要可以引入种种函数空间。例如,考虑定义于闭区间[0,1]上的一切连续实值函数的集合,就可以定义两个函数 和g的距离为

对于度量空间X,可以利用它的度量d 引进一个拓扑结构,其基的元就是所有的开球B(x,r)={y∈X|d(x,y)<r}。这种拓扑结构称为由度量d 产生;同一集合上,不同的度量可以产生相同的拓扑结构。

例如,对于实数集R,d(x,y)=|x-y|与

就产生同一个拓扑结构。度量不是拓扑概念。

在度量空间中可以用距离定义点列的收敛概念:xn→x0就是指d(xn,x0)。点列{xn}称为柯西点列,是指对任意正实数ε,都存在自然数N,使得m、n≥N时有可以证明收敛点列一定是柯西点列,反过来并不成立。每个柯西点列都收敛的度量空间叫做完备度量空间。这类空间有许多好的性质。例如,完备度量空间中压缩映射原理成立。可以用它证明微分方程、积分方程以及无限线性代数方程组的一系列存在唯一性定理。度量空间X的任何子集Y配上原有的距离也成为度量空间,称作X的子空间。如果每个开球{x∈X|d(x0,x)<r}都含有Y 的点,便说Y是X 的稠密子空间。

每一度量空间X 都是另一完备度量空间的稠密子空间,而且由X唯一构造出来。例如,实数直线就是有理数集的完备化,20世纪初建立严密的数学分析理论正是基于这一重要事实。

可以证明:在完备度量空间中可数多个稠密开子集的交仍是稠密集

度量空间具有许多良好性质,例如,它满足第一可数公理,它是豪斯多夫空间,正规空间,还是仿紧空间。此外对度量空间而言,紧致性等价于下列三条中的任一条:①任何可数开覆盖都有有限子覆盖;②每一无限子集都在空间中有聚点:③每一点列都有收敛子列。

一个拓扑空间的拓扑结构在什么条件下能作为一个度量空间的拓扑?这是点集拓扑理论中的一个重要问题,称作度量化问题。对于度量化问题的两个最主要的结果一个是Urysohn度量化定理,即每一个第二可数的正规Hausdorff空间可度量化(通常会在点集拓扑的课程中介绍),另一个则是Bing-Nagata-Smirnov度量化定理,即一个拓扑空间可度量化当且仅当它是正则Hausdorff空间并且具有一个可数的局部有限基。

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