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对顶角

对顶角(vertical angles, opposite angles)即如果一个角的两边分别是另一个角两边的反向延长线,且这两个角有公共顶点,那么这两个角是对顶角对顶角的范围介于0度到180度之间,0度和180度不算在内。对顶角是具有特殊位置的两个角,对顶角相等反映的是两个角之间的大小关系。

几何学中,对顶角是两个角之间的一种位置关系。两条直线相交时会产生一个交点,并产生以这个交点为顶点的四个角。称其中不相邻的两个角互为对顶角。或者说,其中的一个角是另一个的对顶角。

对顶角满足下列定理两直线相交,对顶角相等。

用数学语言描述就是:

设直线ADBC交于点O。则形成四个角:∠AOB、∠COD、∠AOC、∠BOD。其中,∠AOB和∠COD互为对顶角,∠AOC和∠BOD互为对顶角。∠AOB = ∠COD,∠AOC = ∠BOD。

如图1, 两条直线相交,构成两对对顶角。∠1与∠3为一对对顶角,∠2与∠4为一对对顶角。

注意:

1.对顶角一定相等,但是相等的角不一定是对顶角

2.对顶角必须有共同顶点。

3.对顶角是成对出现的。

在证明过程中使用对顶角的性质时,以 图1为例,

∴∠1=∠3,∠2=∠4(对顶角相等)。

任何两条直线可以看成一个组合,这样的组合有C(n,2)=n(n-1)/2 ,每个组合有两对对顶角 ,因此n条直线相交于一点,共有2C(n,2)=n(n-1)对。即:

2条直线相交于一点,有(2)对不同的对顶角;

3条直线相交于一点,有(6)对不同的对顶角;

4条直线相交于一点,有(12)对不同的对顶角;

..............

n条直线相交于一点,有n(n-1)对不同的对顶角。

如果两个角是对顶角,那么这两个角相等。

在同一平面内,互为对顶角的两个角相等。

勒斯生于希腊,是一位擅长于几何学的数学家及哲学家。他一生发现了多个几何学定理,包括等腰三角形中的“等边对等角”定理,也包括对顶角定理。

设直线ADBC交于点O,那么,∠AOB和∠AOC 互为邻补角。根据邻补角的性质,

其中

类似地,∠COD和∠AOC 互为邻补角。根据邻补角的性质,

因此,

两边减去相同的角度

同样地,可以证明

对顶角通常用于测量角度以及证明全等三角形。以下是一个利用对顶角证明全等三角形的例子:

如右图,已知AB=CD,∠BAE=∠CAE。求证:

证明:在△ABE与△DCE中,

因此,


  在以上证明中,∠AEB=∠CED的结论就是通过对顶角定理得出的。注意,在一般的几何证明中,对顶角定理并不需要显式地叙述出来,可以当作是默认的条件。

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