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后缀树

后缀树(Suffix tree)是一种数据结构,能快速解决很多关于字符串的问题。后缀树的概念最早由Weiner 于1973年提出,既而由McCreight 在1976年和Ukkonen在1992年和1995年加以改进完善。

后缀树提出的目的是用来支持有效的字符串匹配和查询。

一个具有m个词的字符串S的后缀树T,就是一个包含一个根节点的有向树,该树恰好带有m个叶子,这些叶子被赋予从1到m的标号。 每一个内部节点,除了根节点以外,都至少有两个子节点,而且每条边都用$的一个非空子串来标识。出自同一节点的任意两条边的标识不会以相同的词开始。后缀树的关键特征是:对于任何叶子i,从根节点到该叶子所经历的边的所有标识串联起来后恰好拼出S的从i位置开始的后缀,即S[i,…,m]。树中节点的标识被定义为从根到该节点的所有边的标识的串联。

图中示意了字符串 "I know you know I know "的后缀树。内部节点用圆来表示,叶子用矩形来表示,该例子中有六个叶子,被标号为1到6。 终止字符在图中被省略掉了。

同理, 若干字符串组成的后缀树, 称为一个扩展的后缀树:n个字符串Sn,其中字符串的长度为mn, 由这些字符串组成一个扩展的后缀树 T ,它是一个包含一个根节点的有向树,该树有mn个叶子,每个叶子都用一个两数字的坐标tuple(k,l)来标识,其中k的范围是从1到n,而l的范围是从1到mk ,每一个内部节点,除了根节点外,都有两个子节点并且每条边都用一个非空的S中若干单词构成的一个子串来标识。并且出自同一节点的任意两条边的标识的第一个单词不能相同。对于任意的叶子(i,j),从根节点到该叶子所经历的所有边的标识的串联恰好拼出后缀Si,该后缀从位置j开始,就是说它们拼出了Si[j..mi]。

对于字符串集合T={t1,t2…tn}的广义后缀树,是一个压缩字典树(trie)其中包含了T中每一个字符串的所有的后缀。

每一个叶节点,是由<StringID, Start position> 对来标记的,即包含了所在的字符串和在字符串中的开始位置。

广义后缀数组的构造:

将T中的所有字符串加上终结符$连接在一起构成新的字符串S= t1$t2$…tn $;对字符串S构造,后缀树;每一个叶节点标记上在S中的起始位置;移除横跨多个字符串的后缀;将叶节点的起始位置映射成<String ID, Start position>对。说明:真实构造中对后缀的比较只比较到字符$就结束,这样不会出现横跨多个字符串的后缀。

相关解释:

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