词语大全 > 二补数

二补数

二补数(2's complement)是一种用二进制表示有号数的方法,也是一种将数字的正负号变号的方式,常在计算机科学中使用。在中国大陆地区通常称作补码。 一个数字的二补数就是将该数字作位反相计算(即一补数),再将结果加 1,即为该数字的二补数。在二补数系统中,一个负数就是用其对应正数的二补数来表示。

是可以在加法减法处理中,不需因为数字的正负而使用不同的计算方式。只要一种加法电路就可以处理各种有号数加法,而且减法可以用一个数加上另一个数的二补数来表示,因此只要有加法电路及二补数电路即可完成各种有号数加法及减法,在电路设计上相当方便。

另外,二补数系统的 0 只有一个表示方式,这点和一补数系统不同(在一补数系统中,0 有二种表示方式),因此在判断数字是否为 0 时,只较比对一个不同的条件即可。

下表是在一些 8 二补数系统的整数。

符号

0

1

1

1

1

1

1

1

=

127

0

0

0

0

0

0

1

0

=

2

0

0

0

0

0

0

0

1

=

1

0

0

0

0

0

0

0

0

=

0

1

1

1

1

1

1

1

1

=

1

1

1

1

1

1

1

1

0

=

2

1

0

0

0

0

0

0

1

=

127

1

0

0

0

0

0

0

0

=

128

二补数

十进制

0111

7

0110

6

...

...

0010

2

0001

1

0000

0

1111

1

1110

2

...

...

1001

7

1000

8

以下用 4 位的二补数数字来说明二补数系统的数字表示方式。

在表示正数和零时,二补数数字和一般二进制一样,唯一的不同是在二补数系统中,正数的最高位恒为 0,因此4 位的二补数正数,最大数字为 0111 (7)。

二补数数字的负数,最高位恒为 1,4 位二补数的数字中,最接近 0 的负数为 1111 (-1),以此类推,因此绝对值最大的负数是 1000 (-8)。

以上的表示方式在电脑处理时格外方便,以下用以下的例子说明:

0011 (3)

+ 1111 (-1)

--------------

10010 (2)

结果 10010 似乎是错的,因为已经超过四个位,不过若忽略掉(从右数起的)第 5 个位,结果是 0010 (2),和我们计算的结果一样。而且若可以将二进制的 0001 (1) 变号为 1111 (-1),以上的式子也可以计算减法:3-1 = 2。

在 n 位的二补数加减法中,忽略第 n+1 个位的作法在各种有号数加法下都适用(不过在判断是否溢出(overflow)时,仍然会用到第 n+1 个位)。因此在二补数的系统,加法电路就可以处理有负数的加法,不需另外处理减法的电路。而且,只要有电路负责数字的变号(例如将 1 变换为 -1),也可以用加法电路来处理减法。而数字的变号就用计算数字的二补数来完成。

在一般 n 位的二进制数字中,最高有效位(MSB) 第 n 位代表的数字为 2^(n-1)。不过,在 n 位的二补数系统中,最高有效位(MSB) 第 n 位表示符号位,若符号位为 0,数字为正数或 0,若符号位为 1,数字为负数。以下是 n 位的二补数系统中,

二补数

实际数字

附注

0 111....111

2^(n-1)-1

最大正数

...

...

0 000....001

1

0 000....000

0

1 111....111

-1

...

...

1 000....001

-2^(n-1)-1

1 000....000

-2^(n-1)

绝对值最大负数

因此,在 8 位的二补数系统中,可以表示的最大正数为 2^(8-1)-1 = 127,可以表示的最大绝对值负数为 -2^(8-1) = -128

在计算二进字数字的二补数时,会将数字进行位元反相运算,再将结果加 1,不考虑溢位位元(一般情形,溢位位元会为 0),就可以得到该数字的二补数。

以下考虑用有号数 8 位元二进位表示的数字 5:

0000 0101 (5)

其最高位元为 0,因为此数字为正数。若要用二补数系统表示 -5,首先要将 5 的二进位进行反相运算〔1 变为 0,0 变为 1 〕:

1111 1010

目前的数字是数字 5 的一补数,因此需要再加 1,才是二补数:

1111 1011 (-5)

以上就是在二补数系统中 -5 的表示方式。其其最高位元为 1,因为此数字确实为负数。

一个负数的二补数就是其对应的正数。以 -5 为例,先求数字的一补数:

0000 0100

再加一就是 -5 的二补数,也就是 5。

0000 0101 (5)

简单来说,数字 a (正负数皆可)的二补数即为 -a。

若要计算 n 位数二补数二进位对应的十进位,需要知道每位数对应的数字,除了最高位元外,其他位元的对应数字均和一般二进位相同,即第 i 位数表示数字 2i1。但最高位元若为 1 时,其表示数字为 -2n1,因此若用此方式计算 0000 0101 表示的数字,其结果为:

1111 1011 (5) = 128 + 64 + 32 + 16 + 8 + 0 + 2 + 1 = (2^7 + 2^6 + ...) = 5

有二个数字的二补数等于本身:一个是 0,另一个为该位元可表示最大绝对值负数(即 1000...000)。

0 的二补数计算方式(以 8 位元为例) 如下:先计算它的一补数:

1111 1111

再将一补数加一:

0000 0000, 溢位位元 = 1

忽略溢位,其结果为 0(0 是唯一计算二补数过程中会出现溢位的数字。)。因此 0 的二补数为 0。而 0 x -1 = 0,因此其二补数仍满足「数字 a 的二补数为 -a」的原则。

若计算 1000 0000 (-128、8 位元可表示最大绝对值负数)的二补数:先计算它的一补数:

0111 1111

再加一就是它的二补数。

1000 0000

1000 0000 (-128)的二补数仍为 1000 0000 (-128)。但 -128 x -1 = 128,因此其二补数是以上规则的例外。

其例外原因为因为 8 位元的二补数数字范围为 -128 ~ 127。128 无法以 8 位元的二补数数字表示。在计算其他位数的最大绝对值负数(即 1000...000)时,也会有类似情形。

另一种正式计算一数字(此例中以 N 为例)的二补数 N* 的公式如下:

<math>N* = 2^n - N</math>

其中 N* 是 N 的补数,而 n 是数字 N 用二进位表示时需要的位数。

以 4 位数二进位 的 5 为例:

N (十进位) = 5, N (二进位) = 0101

n = 4

5 的二补数计算方式如下:

<math>N* = 2^n - N = [2^4](base 10) - 0101 = 10000(base 2) - 0101 = 1011</math>

以另一种较简单的方式,可以找出二进位数字的二补数:

先由最低位元开始找。

若该位元为 0,将二补数对应位元填 0,继续找下一位元(较高的位元)。

若找到第一个为 1 的位元为 0,将二补数对应位元填 1。

将其馀未转换的位元进行位元反相,将结果填入对应的二补数。

以 0011 1100 为例(图中的 ^ 表示目前转换的数字,-表示还不确定的位数):

原数字 二补数 0011 1100 ---- ---0 (此位元为 0) ^ 0011 1100 ---- --00 (此位元为 0) ^ 0011 1100 ---- -100 (找到第 1 个为 1 的位元) ^ 0011 1100 1100 0100 (其馀位元直接反相) ^

因此其结果为 1100 0100

十进位 4 位元二补数 8 位元二补数

5 0101 0000 0101

-3 1101 1111 1101

将一个特定位元二补数系统的数字要以较多位元表示时(例如,将一个位元组的变数复制到另一个二个位元组),所有增加的高位元都要填入原数字的符号位元。在一些微处理机中,有指令可以执行上述的动作。若是没有,需要自行在程式中处理。

在二补数系统中,当数字要向右位移几个位元时,在位移後需将符号位元再填入原位置,保持符号位元不变。以下是二个例子:

数字 0010 1010 1010 1010 向右位移一次 0001 0101 1101 0101 向右位移二次 0000 1010 1110 1010

而当一个数字要向左位移几个位元时,最低位元填 0,而符号位元不受位移影响。以下是二个例子:

数字 0010 1010 1010 1010 向左位移一次 0101 0100 1101 0100 向左位移二次 0010 1000 1010 1000

向右位移一次相当于除 2,向左位移一次相当于乘 2。利用上述的方式可以确保位移後的数字正负号和原数字相同,因为一数字乘 2 或除 2 後,不会改变其正负号。

二补数系统数字的加法和一般加法相同,而且在运算完成後就可以看出结果的正负号,不需特别的处理。

以 15 加 -5 为例:

11111 111 (进位) 0000 1111 (15) + 1111 1011 (-5)=00001010 (10)

由于加数和被加数都是 8 位元,因此运算结果也限制在 8 位元内。第 8 位元相加後产生的进位不考虑(因为不存在第 9 位元)的 1 被忽略,所以其结果为 10。而 15 + (-5) = 10,计算结果正确。

在以上计算式中,可以由进位列的最左侧二个位元得知结果是否出现溢位。溢位就是数字的绝对值太大,以致於无法在指定的二进位位元个数来表示(在此例中,是超过 8 位元的范围)。若进位列的最左侧二个位元同为 0 或同为 1,表示结果正确,若是一个为 0,另一个为 1,表示出现溢位错误。也可以对此二个位元进行XOR运算,结果为 1 时,表示出现溢位错误。以下以 7 + 3 的 4 位元加法说明溢位错误的情形。

0111 (进位) 0111 (7) + 0011 (3) ============= 1010 (6) 结果不正确!

在此例中,进位列的最左侧二个位元为 01,因此出现溢位错误。溢位的原因是 7 + 3 的结果 (10) 超过二补数系统 4 位元所可以表示的数字范围 -8~7。

词语大全 8944.net

copyright ©right 2010-2021。
词语大全内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit325@126.com