词语大全 > 不可数集

不可数集

设 A 和 B 是两个集合,讨论集合中元素的多少问题,如果 A 和 B 都是有限集,则只需分别数出它们的元素个数,再加以比较即可;但是当 A 和 B都是无限集时,无法数出它们的元素个数,此时可通过“映射”的概念建立集合间的等势关系,并拓广集合中元素个数的概念,引进集合基数的概念,最后将集合分为可数集和不可数集。不可数集是既不是有限集合,也不是(无限)可数集集合,我们称不是可数集的集合为不可数集。

设 A 和 B 为集合,若存在 A 到 B 的双射,则称 A 与 B 等势,即为

可以利用等势概念来定义有限集:设

(1)自然数集合 N 是无限集

(2)任何有限集均不能与其真子集等势。 [1]

与有限集合中元素的个数的记法一样,集合 A 的基数用

我们希望基数像普通数一样,也具有相等关系和大小顺序。设 A 和 B 为两个集合:

(1)若 A~B,则称 A 的基数和 B 的基数相等,记为 | A |=| B |,否则记为| A l ≠ l B l;

(2)若存在 A 到 B 的单射,则称 A 的基数小于或等于 B 的基数,记为l A I ≤l B l,或者称 B 的基数大于或等于A的基数,记为l B l ≥l A |;

(3)若l A I ≤l B l,且| A l ≠ l B l,则称A的基数小于 B 的基数,记为| A | < | B |,或者称B的基数大于A 的基数,记为l B l > l A |。

由定义,l A I=l B I可形象地理解成,A 中的元素与 B 中的元素一样多。显然,上述定义是有限集合的元素个数有大小的推广。容易验证,集合基数的关系具有自反性和传递性。义由Bernstein(伯恩斯坦)定理知,集合基数的关系还具有反对称性。因此,集合基数的关系是一个偏序关系,进一步还可以证明它是一个全序关系。于是,像实数一样,任何两个基数均可以比较大小,基数也有无限多个,而且无最大者。

关于基数,有如下结论:

(1)设A 和 B 为两个集合,于是l A I ≤l B l,或者l B I ≤l A l。

(2)基数之间的相等关系“=”是一个等价关系

(3)基数之间的小于或等于关系“≤”是一个偏序关系 [1]

不可数集是无穷集合中的一种。一个无穷集合和自然数集合之间要是不存在一个双射(不存在一一对应关系/法则),那么它就是一个不可数集。

设 A 是一个集合,若 A 与自然数集 N 等势,则称 A 为可数无限集;若 A 是有限集,则称 A 为可数集。不是可数集的集合称为不可数集。 [1]

康托尔在1874年和1891年分别用两种不同的方法,证明了实数集是不可数集。其中1891年所用的方法更加为人所熟知,又被称为对角线法。证明发表之后,这种方法在数理逻辑中获得广泛应用。

证明过程:令

反证法,假设 S 是可数集,则 S 可以表示为

其中

构造实数

这样,r 和 S 中的所有实数都不相同,即

无理数集也是不可数集。事实上,反设无理数集至多是可数集,因为有理数集是可数集,实数集就是有限个至多可数集的并集,为至多可数集,与已得的结果矛盾。所以无理数集是不可数集。

区间 [0,1] 是不可数集。

证明过程:(反证法)

显然 [0,1] 是无限集,假设它是可数集,记

词语大全 8944.net

copyright ©right 2010-2021。
词语大全内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit325@126.com