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曼哈顿距离

出租车几何或曼哈顿距离(Manhattan Distance)是由十九世纪的赫尔曼闵可夫斯基所创词汇 ,是种使用在几何度量空间的几何学用语,用以标明两个点在标准坐标系上的绝对轴距总和。

图中红线代表曼哈顿距离,绿色代表欧氏距离,也就是直线距离,而蓝色和黄色代表等价的曼哈顿距离。曼哈顿距离两点在南北方向上的距离加上在东西方向上的距离,即d(i,j)=|xi-xj|+|yi-yj|。对于一个具有正南正北、正东正西方向规则布局的城镇街道,从一点到达另一点的距离正是在南北方向上旅行的距离加上在东西方向上旅行的距离,因此,曼哈顿距离又称为出租车距离。曼哈顿距离不是距离不变量,当坐标轴变动时,点间的距离就会不同。曼哈顿距离示意图在早期的计算机图形学中,屏幕是由像素构成,是整数,点的坐标也一般是整数,原因是浮点运算很昂贵,很慢而且有误差,如果直接使用AB的欧氏距离(欧几里德距离:在二维和三维空间中的欧氏距离的就是两点之间的距离),则必须要进行浮点运算,如果使用AC和CB,则只要计算加减法即可,这就大大提高了运算速度,而且不管累计运算多少次,都不会有误差。

我们可以定义曼哈顿距离的正式意义为L1-距离或城市区块距离,也就是在欧几里德空间的固定直角坐标系上两点所形成的线段对轴产生的投影的距离总和。

例如在平面上,坐标(x1, y1)的i点与坐标(x2, y2)的j点的曼哈顿距离为:

d(i,j)=|X1-X2|+|Y1-Y2|.

要注意的是,曼哈顿距离依赖坐标系统的转度,而非系统在坐标轴上的平移或映射。

曼哈顿距离的命名原因是从规划为方型建筑区块的城市(如曼哈顿)间,最短的行车路径而来(忽略曼哈顿的单向车道以及只存在于3、14大道的斜向车道)。任何往东三区块、往北六区块的的路径一定最少要走九区块,没有其他捷径。

出租车几何学满足除了SAS全等定理之外的希伯特定理,SAS全等指任两个三角型两个边与它们的夹角均分别对应相等,则这两个三角型全等。

在出租车几何学中,一个圆是由从圆心向各个固定曼哈顿距离标示出来的点围成的区域。因此这种圆其实就是旋转了45度的正方形。如果有一群圆,任两圆皆相交,则整群圆必在某点相交;因此曼哈顿距离会形成一个超凸度量空间(Injective metric space)。对一个半径为r 的圆来说,这个正方形的圆每边长√2r。此'"圆"的半径r对切比雪夫距离 (L∞ 空间)的二维平面来说,也是一个对座标轴来说边长为2r的正方形,因此二维切比雪夫距离可视为等同于旋转且放大过的二维曼哈顿距离。然而这种介于L1与L∞的相等关系并不能延伸到更高的维度

非负性:d(i,j)≥0 距离是一个非负的数值

同一性:d(i,i)= 0 对象到自身的距离为0

对称性:d(i,j)= d(j,i)距离是一个对称函数

三角不等式:d(i,j)≤d(i,k)+d(k,j)从对象i到对象j的直接距离不会大于途经的任何其他对象k的距离

在西洋棋里,车(城堡)是以曼哈顿距离来计算棋盘 格上的距离;而王(国王)与后(皇后)使用切比雪夫距离,象(主教)则是用转了45度的曼哈顿距离来算(在同色的格子上),也就是说它以斜线为行走路径。只有国王需要一步一步走的方式移动,皇后、主教与城堡可以在一或两次移动走到任何一格(在没有阻碍物的情况下,且主教忽略它不能走到的另一类颜色)。

图为曼哈顿与欧几里德距离: 红、蓝与黄线分别表示所有曼哈顿距离都拥有一样长度(12),而绿线表示欧几里德距离有6×√2 ≈ 8.48的长度。

曼哈顿距离两点在南北方向上的距离加上在东西方向上的距离,即d(i,j)=|xi-xj|+|yi-yj|。对于一个具有正南正北、正东正西方向规则布局的城镇街道,从一点到达另一点的距离正是在南北方向上旅行的距离加上在东西方向上旅行的距离因此曼哈顿距离又称为出租车距离,曼哈顿距离不是距离不变量,当坐标轴变动时,点间的距离就会不同。

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