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拉姆齐二染色定理

拉姆齐二染色定理,在组合数学上,拉姆齐(Ramsey)定理是要解决以下的问题:要找这样一个最小的数n,使得n个人中必定有k个人相识或l个人互不相识。

这个定理以弗兰克普伦普顿拉姆齐命名,1930年他在论文On a Problem in Formal Logic(《形式逻辑上的一个问题》)证明了R(3,3)=6。拉姆齐数的定义拉姆齐数,用图论的语言有两种描述:对于所有的N顶图,包含k个顶的团或l个顶的独立集。具有这样性质的最小自然数N就称为一个拉姆齐数,记作R(k,l);在着色理论中是这样描述的:对于完全图Kn的任意一个2边着色(e1,e2),使得Kn[e1]中含有一个k阶子完全图,Kn[e2]含有一个l阶子完全图,则称满足这个条件的最小的n为一个拉姆齐数。(注意:Ki按照图论的记法表示i阶完全图)拉姆齐证明,对与给定的正整数数k及l,R(k,l)的答案是唯一和有限的。拉姆齐数亦可推广到多于两个数:对于完全图Kn的每条边都任意涂上r种颜色之一,分别记为e1,e2,e3,...,er,在Kn中,必定有个颜色为e1的l1阶子完全图,或有个颜色为e2的l2阶子完全图……或有个颜色为er的lr阶子完全图。符合条件又最少的数n则记为R(l1,l2,l3,...,lr;r)。

拉姆齐数的数值或上下界已知的拉姆齐数非常少,保罗艾狄胥曾以一个故事来描述寻找拉姆齐数的难度:“想像有队外星人军队在地球降落,要求取得R(5,5)的值,否则便会毁灭地球。在这个情况,我们应该集中所有电脑和数学家尝试去找这个数值。若它们要求的是R(6,6)的值,我们要尝试毁灭这班外星人了。”显然易见的公式: R(1,s)=1, R(2,s)=s, R(l1,l2,l3,...,lr;r)=R(l2,l1,l3,...,lr;r)=R(l3,l1,l2,...,lr;r)(将li的顺序改变并不改变拉姆齐的数值)。

r,s

3

4

5

6

7

8

9

10

3

6

9

14

18

23

28

36

40-43

4

9

18

25

35 41

49 61

56 84

73 115

92-149

5

14

25

43 49

58 87

80 143

101 216

125 316

143-442

6

18

35 41

58 87

102 165

113 298

127 495

169 780

179-1171

7

23

49 61

80 143

113 298

205 540

216 1031

233 1713

289-2826

8

28

56 84

101 216

127 495

216 1031

282 1870

317 3583

317-6090

9

36

73 115

125 316

169 780

233 1713

317 3583

565 6588

580-12677

10

40-43

92 149

143 442

179 1171

289 2826

317 6090

580-12677

798-23556

R(3,3,3)=17

R(3,3)等于6的证明证明:在一个K6的完全图内,每边涂上红或蓝色,必然有一个红色的三角形或蓝色的三角形。任意选取一个端点P,它有5条边和其他端点相连。根据鸽巢原理,5条边的颜色至少有3条相同,不失一般性设这种颜色是红色。在这3条边除了P以外的3个端点,它们互相连结的边有3条。若这3条边中任何一条是红色,这条边的两个端点和P相连的2边便组成一个红色三角形。若这3条边中任何一条都不是红色,它们必然是蓝色,因此,它们组成了一个蓝色三角形。而在K5内,不一定有一个红色的三角形或蓝色的三角形。每个端点和毗邻的两个端点的线是红色,和其余两个端点的连线是蓝色即可。这个定理的通俗版本就是友谊定理

2010年8月,中南大学数学科学与计算技术学院酷爱数理逻辑刘路在自学反推数学的时候,第一次接触到拉姆齐二染色定理,并在阅读大量文献时发现,海内外不少学者都在进行反推数学中的拉姆齐二染色定理的证明论强度的研究。这是由英国数理逻辑学家西塔潘于上个世纪90年代提出的一个猜想,10多年来许多著名研究者一直努力都没有解决。同年10月的一天,刘路突然想到利用之前用到的一个方法稍作修改便可以证明这一结论,连夜将这一证明写出来,投给了数理逻辑国际权威杂志《符号逻辑杂志》。

2011年5月,由北京大学南京大学浙江师范大学联合举办的逻辑学术会议在浙江师范大学举行,还是大三学生的刘路应邀参加了这次会议,报告了他对目前反推数学中的拉姆齐二染色定理的证明论强度的研究。刘路的报告给这一悬而未决的公开问题一个否定式的回答,彻底解决了西塔潘的猜想。

《符号逻辑杂志》的主编、逻辑学专家、芝加哥大学数学系邓尼斯汉斯杰弗德看到论文后给他写信:“我是过去众多研究该问题而无果者之一,看到这一问题的最终解决感到非常高兴,特别如你给出的如此漂亮的证明,请接受我对你令人赞叹的惊奇的成果的祝贺!”同时,邓尼斯汉斯杰弗德教授高兴地将刘路的研究介绍给了其他几位同仁和专家,他们一起审读、反复商讨。

论文审稿人、芝加哥大学博士达米尔扎法洛夫也认为:“这是一个重要的结果,过去20多年许多著名科研工作者在这方面进行努力。该问题的研究促进了反推数学和计算性理论方面的研究。”

2011年9月16日,美国芝加哥大学数理逻辑学术会议上,云集了来自欧美的许多数理逻辑专家、学者。大会邀请了12位专家、学者作学术报告,刘路作为亚洲高校唯一一位代表在会上作了40分钟报告。他在数理逻辑方面的研究成果,让与会专家、学者对这位来自中国的“80后”投上赞许的目光。刘路表示,他投给《美国数学会汇刊》的论文获得威士康星大学、伯克利大学等几位教授很高的评价,有望公开发表。

刘嘉忆本名刘路,今年只有23岁,是中南大学应用数学专业大三的学生,酷爱数学。刘路的研究成果引起了数学界的广泛关注,三名中科院院士为他写推荐信,希望教育部破格批准他直接读博或硕博连读。据刘路的导师侯振挺教授介绍,刘路本人对周遭的一切变化显得很淡定,他已经关掉了手机,继续在数学的世界中潜心学习。

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