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约翰彼得古斯塔夫勒热纳狄利克雷

约翰彼得古斯塔夫勒热纳狄利克雷(Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet,勒热纳狄利克雷是姓,1805年2月13日-1859年5月5日),德国数学家。他是解析数论的奠基者,也是现代函数概念的定义者。

狄利克雷16岁通过中学毕业考试后,父母希望他攻读法律,但他已选定数学为其终身职业。当时的德国数学界,除高斯一人名噪欧洲外,普遍水平较低;又因高斯不喜好教学,于是狄利克雷决定到数学中心巴黎上大学,那里有一批灿如明星的数学家,诸如P.S.拉普拉斯(Laplace)、A.勒让德(Legendre)、J.傅里叶(Fourier)、S.泊松(Poisson)、S.拉克鲁瓦(Lacroix)、J.B.比奥(Biot)等等。

1822年5月,狄利克雷到达巴黎,选定在法兰西学院和巴黎理学院攻读;其间因患轻度天花影响了听课,幸好时间不长。1823年夏,他被选中担任M.法伊(Fay)将军的孩子们的家庭教师。法伊是拿破仑时代的英雄,时任国民议会反对派的领袖。狄利克雷担任此职,不仅收入颇丰,而且受到视如家人的善待,还结识了许多法国知识界的名流。其中,他对数学家傅里叶尤为尊敬,受其在三角级数和数学物理方面工作的影响颇深。另一方面,狄利克雷从未放弃对高斯1801年出版的数论名著《算术研究》(Dispui-sitiones arithmeticae)的钻研。据传他即使在旅途中也总是随身携带此书,形影不离。当时还没有其他数学家能完全理解高斯的这部书,狄利克雷是第一位真正掌握其精髓的人。可以说,高斯和傅里叶是对狄利克雷学术研究影响最大的两位数学前辈。

1825年,狄利克雷向法国科学院提交他的第一篇数学论文,题为“某些五次不定方程的不可解”(Mémoire sur L'impossibilite de quelques équations indéterminées du cinquieme degré)。他利用代数数论方法讨论形如x5+y5=Az5的方程。几周后,勒让德利用该文中的方法证明了

1825年11月,法伊将军去世。1826年,狄利克雷在为振兴德国自然科学研究而奔走的A.洪堡(von Humboldt)的影响下,返回德国,在布雷斯劳大学获讲师资格(他在法国未攻读博士学位,而由科隆大学授予他荣誉博士头衔,这是获讲师资格的必要条件),后升任编外教授(extraordinary professor,为介于正式教授和讲师之间的职称)。

1828年,狄利克雷又经洪堡的帮助来到学术空气较浓厚的柏林,任教于柏林军事学院。同年,他又被聘为柏林大学编外教授(后升为正式教授),开始了他在柏林长达27年的教学与研究生涯。由于他讲课清晰,思想深邃,为人谦逊,谆谆善诱,培养了一批优秀数学家,对德国在19世纪后期成为国际上又一个数学中心产生了巨大影响。

1831年,狄利克雷成为柏林科学院院士。同年,他和哲学家M.门德尔松(Mende1ssohn)(音乐家费利克斯门德尔松之姐)的外孙女丽贝卡门德尔松-巴托尔特(Rebecca Mendelssohn-Bartholdy)结婚。

1855年高斯去世,狄利克雷被选定作为高斯的继任到格丁根大学任教。与在柏林繁重的教学任务相比,他很欣赏在格丁根有更多自由支配的时间从事研究(这一时期主要从事一般力学的研究)。可惜美景不长,1858年夏他去瑞士蒙特勒开会,作纪念高斯的演讲,在那里突发心脏病。狄利克雷虽平安返回了格丁根,但在病中遭夫人中风身亡的打击,病情加重,于1859年春与世长辞。

数论

狄利克雷在柏林的早期数论工作,集中在改进高斯在《算术研究》及其他数论文章中的证明或表述方式。如高斯给出的二次互反律的第一个证明相当烦琐,需对8种情形作分别的处理;狄利克雷简化了这一证明,把全部情形归结为2种。其后,他在高斯的理论中引入了一些更深入的问题和结果。如为解二元型理论中的某些困难问题,他开始讨论三元型的课题,提出了一个富有成果的新领域。1837年7月27日,狄利克雷在柏林科学院会议上,提交了对勒让德的一个猜想的解答,他证明任一形如an+b,n=0,1,2,…的算术级数,若a,b互素,则它含有无穷多个素数(即算术级数的素是复数)和二元二次型类数的计算等分析学工具和方法,成为解析数论的开创性工作。

1842年,狄利克雷开始研究具有高斯系数的型,首次运用了“盒子原理”若将多于n个的物体放入n个盒子,则至少有一个盒子含有多于一个的物体,它在现代数论的许多论证中起重要作用。

1846年,他在属于代数数论的单元理论的文章“复单元理论(Zur Theorie der complexen Einheiten)中,获得了一个漂亮而完整的结果,现称狄利克雷单元定理:对由一个不可约方程及其r个实根和s对复根定义的代数数域 K=Q(α),一切单元构成的阿贝尔群的秩为r+s-1,其有限阶元部分由域中单位根组成。

1863年,狄利克雷的《数论讲义》(Vorlesungen über Zahlen-theorie)由他的学生和朋友R.戴德金(Dedekind)编辑出版,这份讲义不仅是对高斯《算术研究》的最好注释,而且融进了他在数论方面的许多精心创造,之后多次再版,成为数论经典之一。

分析

狄利克雷是19世纪分析学严格化的倡导者之一。1829年,他在克雷尔(Crell)杂志发表了他最著名的一篇文章“关于三角级数的收敛性”(Sur la convergence des séries trigonométri-ques)。该文是在傅里叶有关热传导理论的影响下写成的,讨论任意函数展成形如:1/2

1837年,狄利克雷再次回到上述课题,发表题为“用正弦和余弦级 tionen durch Sinus-und Cosinusreihen)的文章,其中扩展了当时普遍采用的函数概念(即由数学符号及运算组成的表达式为函数的概念),引入了现代的函数概念:若变量y以如下方式与变量x相关联,即只要给x指定一个值,按一个规则可确定唯一的y值,则称y是独立变量x的函数。为说明该规则具有完全任意的性质,狄利克雷举出了“性状极怪”的函数实例:当x为有理数时,y=c;当x为无理数时,y=d≠c 现称狄利克雷函数)。但狄利克雷的连续函数概念仍是直观的,并根据等距取函数值求和的方法定义其积分。在此基础上,狄利克雷建立了傅里叶级数的理论。

数学物理

1839年,狄利克雷发表了3篇涉及力学的数学论文,讨论多重积分估值的方法,用于确定椭球体对其内部或外部任意质点的引力,开始了他对数学物理问题的研究。这方面最重要的文章发表于1850年,提出了研究拉普拉斯方程的边值问题(现称狄利克雷问题或第一边值问题):求满足偏微分方程的位势函数V(x,y,z),使它在球面边界上取给定的值。这一类型的问题在热力学和电动力学中特别重要,也是数理方程研究中的基本课题。狄利克雷本人曾用所谓的狄利克雷原理给出了问题的解。1852年,他讨论球在不可压缩流体中的运动,得到流体动力学方程的第一个精确解。

勒热纳狄利克雷逝后,其朋友且学生数学家戴德金将其数论的讲述和其他结果整理、编辑,出版于《数论讲义》。

狄利克雷定理

简介

数论中,狄利克雷定理说明对于任意互质的两个数a,d,有无限多个质数的形式如a+nd,其中n为正整数,即在算术级数a+d,a+2d,a+3d……中有无限多个质数有无限个质数模d同余a。狄利克雷函数无法画出图像

相关定理

欧几里得证明了有无限个质数,即有无限多个质数的形式如2n+1。

算术级数的质数定理:若a,d互质,则有

其中φ是欧拉φ函数。取d=2,可得一般的质数定理

Linnik定理说明了级数中最小的质数的范围:算术级数a+nd中最小的质数少于c*d^L,其中L和c均为常数,但这两个常数的最小值尚未找到。

Chebotarev密度定理是在狄利克雷定理伽罗瓦扩张的推广。

分析学中,狄利克雷(Dirichlet)判别法是分析学中一条十分重要的判定法则,主要用于判定任意项数项级数的收敛、函数项级数的一致收敛、反常积分的收敛以及含参变量反常积分的一致收敛等。

1834年提出鸽巢定理(即抽屉原理),当时命名为Schubfachprinzip (drawer principle).

历史

欧拉曾以∑1/p=∞,来证明质数有无限个。约翰彼得狄利克雷得以灵感,

借助证明∑(p≡a(mod d))1/p=∞,来证明算术级数中有无限个质数。这个定理的证明中引入了狄利克雷L函数,应用了一些解析数学的技巧,是解析数论的重要里程碑。

1855年高斯去世,哥廷根大学聘任Dirichlet 接任高斯的位置。

由Dirichlet 始,柏林大学进入其黄金时代。

数论应用

已知A是一个正整数,A是所有不整除它的质数的平方剩余,问A是否一定为完全平方数?

一定是完全平方数,反设存在一个这样的非完全平方数A,只用考察不含平方因子的A

设A=p1p2p3…pk,不妨设p1是一个奇数,因为如果A没有奇素因子,注意到2是mod5的二次非剩余,不可能

选择ai为mod pi意义下的,mod pi的二次剩余,其中i=2,3,…,n

特别的,

<1>a1=t mod p1,其中t是mod p1的某个二次非剩余

<2>若pi=2,选择ai=1 mod8

由中国剩余定理,x=ai(mod pi) & x=1(mod4)总有解s

熟知,由狄利克雷定理,形如4kA+s的素数有无穷多,选择一个不能整除A的记为q

由二次互反律,(q/p1)=(p1/q)=-1,(q/pi)=(pi/q)=1

再由Legendra符号的积性,A是mod q的二次非剩余,这与反设矛盾。

狄利克雷于1805年2月13日生于德国迪伦,1859年5月5日卒于格丁根。

其家庭来自比利时的市镇利克雷(Richelet),此乃其姓氏勒热纳狄利克雷(le jeune de Richelet = 法语:来自利克雷的小伙子),他的祖父就生活在那里。狄利克雷出身于行政官员家庭,他父亲是一名邮政局长。狄利克雷少年时即表现出对数学的浓厚兴趣,据说他在12岁前就自攒零用钱购买数学图书。1817年入波恩的一所中学,除数学外,他对近代史有特殊爱好,人们称道他是个能专心致志又品行优良的学生。两年后,他遵照父母的意愿转学到科隆的一所教会学校,在那里曾从师物理学家欧姆(Ohm),学到了必要的物理学基础知识。

其妻瑞贝卡门德尔松(Rebecca Mendelssohn)是音乐家费利克斯门德尔松的妹妹。

相关解释:

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