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冰雹猜想

冰雹猜想是如果从2n出发,不论n如何庞大,就像瀑布一样迅速坠落。而其他的数字即使不是如此,在经过若干次的变换之后也必然会到纯偶数4^n:16-8-4-2-1的循环。据日本和美国的数学家攻关研究,在小于7*10^11的所有的自然数,都符合这个规律

1976年的一天,《华盛顿邮报》于头版头条报道了一条数学新闻。文中记叙了这样一个故事:

70年代中期,美国各所名牌大学校园内,人们都像发疯一般,夜以继日废寝忘食地玩弄一种数学游戏。这个游戏十分简单:任意写出一个自然数N,并且按照以下的规律进行变换:

如果是个奇数,则下一步变成3N+1。

如果是个偶数,则下一步变成N/2。

不单单是学生,甚至连教师、研究员、教授与学究都纷纷加入。为什么这种游戏的魅力经久不衰?因为人们发现,无论N是怎样一个数字,最终都无法逃脱回到谷底1。准确地说,是无法逃出落入底部的4-2-1循环,永远也逃不出这样的宿命

这就是著名的“冰雹猜想”。

冰雹的最大魅力在于不可预知性。英国剑桥大学教授John Conway找到了一个自然数27。虽然27是一个貌不惊人的自然数,但是如果按照上述方法进行运算,则它的上浮下沉异常剧烈:首先,27要经过77步骤的变换到达顶峰值9232,然后又经过34步骤到达谷底值1。全部的变换过程(称作“雹程”)需要111步,其顶峰值9232,达到了原有数字27的342倍多,如果以瀑布般的直线下落(2的N次方)来比较,则具有同样雹程的数字N要达到2的111次方。其对比何其惊人!

但是在1到100的范围内,像27这样的剧烈波动是没有的(54等27的2的次方倍数的数除外。

经过游戏的验证规律,人们发现仅仅在兼具4k和3m+1(k,m为自然数)处的数字才能产生冰雹猜想中“树”的分叉。所以在冰雹树中,16处是第一处分叉,然后是64……以后每隔一节,产生出一支新的支流。

自从Conway发现了神奇的27之后,有专家指出,27这个数字必定只能由54变来,54又必然从108变来,所以,27之上,肯定可以出现不亚于2n的强大支流33*2n(n=1,2,3……),然而,27到4-2-1数列和本流2到4-2-1数列要遥远的多。按照机械唯物论的观点,从27开始逆流而上的数列群才能叫做本源,尽管如此,按照“直线下泻”的观点,一般依然把1-2-4-8……2n的这一支看作是“干流”。

等差数列验证法,此方法是根据冰雹猜想的验证规则而建立的一种验证方法,是以无限的等差数列来对付无限的自然数。首项偶数,公差是偶数,那么数列上的所有自然数都是偶数,全体数列除于2,如果首项是奇数公差是偶数,那么数列上全体自然数都是奇数,全体乘上3再加1。如果公差是奇数,首项也是奇数,那么第奇数项必定都是奇数则乘上3再加1,第偶数项必定都是偶数,则除于2。如果公差是奇数,首项是偶数,那么第奇数项必定都是偶数,则除于2,第偶数项必定都是奇数,则乘上3再加1。按照这样的计算规则计算下去,会遇到许多新的问题,考验验证者的智商。比如偶数的通项公式是2n,因为都是偶数所以除于2,得到n,这就是自然数。

按照忽略偶数不记录的验证方法进行验证,第一个被验证的奇数有可能是能被3整除的奇数,也有可能是不能被3整除的奇数。但是所到达所归结的第二个奇数,以及第三个奇数(假设存在),整个过程所到达所遇到所归结所访问到的每一个奇数,必定都不能再被3整除了。如果都从从能被3整除的奇数开始验证,路径上所遇到所归结的所到达所访问到的每一个奇数都必定不能再被3整除了,最终都能归结于1,那么必定遍历所有的奇数(遍历是离散数学的概念)。如果都从不能被3整除的奇数开始验证,那么路径上所遇到所到达所归结的所访问到的每一个奇数必定都不可能再被3整除了,最终都归结于1(等于说是漏下能被3整除的奇数没有被验证)。所以在顺向的冰雹猜想验证过程中,可以把能被3整除的奇数都命名为最起始点的奇数,1是终止点的奇数,而在逆向的冰雹猜想验证过程中则是相反的,1是最起始点的奇数,而能被3整除的奇数则是终止点的奇数。事实上在验证的过程中,不能被3整除的奇数,都在存在数量无穷多的上一步的奇数,占1/3的比例是能被3整除的奇数,占2/3的比例是不能被3整除的奇数,这一现象都跟自然数的情况出奇地巧合了.

又称角谷猜想,因为是一个名叫角谷的日本人把它传到中国。

将问题公式化,是解决猜想的必由之路。这是一个迭代公式,有输入,输出,反馈,....。

这里 公式中每一个X 都是奇数,m=1,2,3,....。直到把3+1中的偶数析出抵消,使得(1)式右边是奇数为止。

如果不是1而是其他奇数,就继续迭代。一直到1为止。

例如,

例如,

角谷是说,输入x =1,3,5,7,9,11,....任何一个奇数,直至无穷,经过(1)迭代,都是(2)式等于1。

需要证明两个结论以后才有可能完成:

1,任何一个

2,

尽管已经有无数数学家和数学爱好者尝试过,其中不乏天才和世界上第一流的数学家,但他们都没有成功。二十年前,有人向数论学家保尔厄尔多斯(Paul Erdos)介绍了这个问题,并且问他怎么看待现代数学对这个问题无能为力的现象,他回答说:数学还没有准备好回答这样的问题。这个猜想至今无人证明,也无人推翻。

角谷猜想又叫叙古拉猜想。它的一个推广是克拉茨问题,下面简要说说这个问题:

50年代开始,在国际数学界广泛流行着这样一个奇怪有趣的数学问题:任意给定一个自然数x,如果是偶数,则变换成x/2,如果是奇数,则变换成3x+1.此后,再对得数继续进行上述变换.例如x=52,可以陆续得出26,13,40,20,10,5,16,8,4,2,1.如果再做下去就得到循环:

(4,2,1).再试其他的自然数也会得出相同的结果.这个叫做叙古拉猜想.

上述变换,实际上是进行下列函数的迭代

{ x/2 (x是偶数)

C(x)=

3x+1 (x是奇数)

问题是,从任意一个自然数开始,经过有限次函数C迭代,能否最终得到循环(4,2,1),或者等价地说,最终得到1?据说克拉茨(L.Collatz)在1950年召开的一次国际数学家大会上谈起过,因而许多人称之为克拉茨问题.但是后来也有许多人独立地发现过同一个问题,所以,从此以后也许为了避免引起问题的归属争议,许多文献称之为3x+1问题.

克拉茨问题吸引人之处在于C迭代过程中一旦出现2的幂,问题就解决了,而2的幂有无穷多个,人们认为只要迭代过程持续足够长,必定会碰到一个2的幂使问题以肯定形式得到解决.正是这种信念使得问题每到一处,便在那里掀起一股"3x+1问题"狂热,不论是大学还是研究机构都不同程度地卷入这一问题.许多数学家开始悬赏征解,有的500美元,有的1000英镑.

日本东京大学的米田信夫已经对240大约是11000亿以下的自然数做了检验.1992年李文斯(G.T.Leavens)和弗穆兰(M.Vermeulen)已经对5.6*1013的自然数进行了验证,均未发现反例.题意如此清晰,明了,简单,连小学生都能看懂的问题,却难到了20世纪许多大数学家.著名学者盖伊(R.K.Guy)在介绍这一世界难题的时候,竟然冠以"不要试图去解决这些问题"为标题.经过几十年的探索与研究,人们似乎接受了大数学家厄特希(P.Erdos)的说法:"数学还没有成熟到足以解决这样的问题!"有人提议将3x+1问题作为下一个费尔马问题.

下面是我对克拉茨问题的初步研究结果,只是发现了一点点规律,距离解决还很遥远.

克拉茨命题:设 n∈N,并且

f(n)= n/2 (如果n是偶数) 或者 3n+1 (如果n是奇数)

现用f1(n)表示f(n),f2(n)=f(f(n)),...fk(n)=f(f(...f(n)...)).

则存在有限正整数m∈N,使得fm(n)=1.(以下称n/2为偶变换,3n+1为奇变换,并且称先奇变换再偶变换为全变换)

引理一:若n=2m,则fm(n)=1 (m∈N)

证明:当m=1时,f(n)=f(2)=2/2=1,命题成立,设当m=k时成立,则当m=k+1时,fk+1(n)=f(fk(2k+1))=

=f(2)=2/2=1.证毕.

引理二:若n=1+4+42+43+...+4k=(4k+1-1)/(4-1) (k∈N),则有f(n)=3n+1=4k+1=22k+2,从而f2k+3(n)=1.

证明:证明是显然的,省略.

引理三:若n=2m(4k+1-1)/(4-1) (m∈N), 则有fm+2k+3(n)=1.

证明:省略.

:集合 O={X|X=2k-1,k∈N} 对于变换f(X)是封闭的.

证明:对于任意自然数n,若n=2m,则fm(n)=1,对于n=2k,经过若干次偶变换,必然要变成奇数,所以我们以下之考虑奇数的情形,即集合O的情形.对于奇数,首先要进行奇变换,伴随而来的必然是偶变换,所以对于奇数,肯定要进行一次全变换.为了直观起见,我们将奇数列及其全变换排列如下:

k 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51

0 2k-1 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 33 35 37 39 41 43 45 47 49 51 53 55 57 59 61 63 65 67 69 71 73 75 77 79 81 83 85 87 89 91 93 95 97 99 101

1 3k-1 2 5 8 11 14 17 20 23 26 29 32 35 38 41 44 47 50 53 56 59 62 65 68 71 74 77 80 83 86 89 92 95 98 101 104 107 110 113 116 119 122 125 128 131 134 137 140 143 146 149 152

2 3k-2 1   4   7   10   13   16   19   22   25   28   31   34   37   40   43   46 49   52   55   58   61   64  67   70   73   76

3 3k-1     2       5      8       11       14       17       20       23       26       29       32       35       38

4 3k-2     1             4               7               10               13              16               19

5 3k-1                  2                               5                               8

6 3k-2                  1 4

7 3k-1 2

8 3k-2 1

第一行(2k-1)经过全变换(3(2k-1)+1)/2=3k-1变成第二行,实际上等于第一行加上一个k,其中的奇数5,11,...6k-1又回到了第一行.以下各行是等差数列3k-2,3k-1交错排列.由于最终都变成了奇数,所以集合O对于变换f(X)是封闭的.

:任何奇自然数经过若干次变换都会变成1.

证明:

我们看到 奇数经过全变换变成为3k-1型数,3k-1型奇数经过全变换有一半仍然变成3k-1型奇数,而另一半3k-1型偶数经过除以2有一半变成为3k-2型奇数,而3k-2型奇数经过全变换又变成为3k-1型数.换句话说不可能经过全变换得到3k-2型数.

下面我们只研究奇数经过全变换的性质,因为对于其他偶数经过若干次偶变换,仍然要回到奇数的行列里来.

我们首先证明奇数经过若干次全变换必然会在某一步变成偶数.(冰雹猜想又成奇偶变换猜想,“如果偶数除于2“是把偶数变成奇数的运算,偶数归结于奇数的逆向描述公式是:偶数=f(m,n)=(2n-1)*2^m,这是描述偶数归结于奇数的另外一个公式。“如果奇数乘于3加1”是把奇数变成偶数 的运算,运用直接归结定理2个公式描述了)

设2a0-1是我们要研究的奇数,它经过全变换变成3a0-1,假设它是一个奇数并且等于2a1-1,2a1-1又经过全变换变成为3a1-1=2a2-1,3a2-1=2a3-1,...3ak-1-1=2ak-1,所以a1=(3/2)a0,a2=(3/2)a1,...ak=(3/2)ak-1.

所以最后ak=(3/2)ka0,要使ak是整数,可令a0=2kn,(n是奇数).于是ak=3kn.则从2a0-1经过若干次全变换过程如下:

2k+1n-1 -> 3*2kn-1 -> 32*2k-1n-1 -> 33*2k-2n-1 ->... -> 3k+1n-1 (偶数).

然后我们证明经过全变换变成偶数的奇数一定大于该偶数经过若干偶变换之后得到的奇数.

设3k+1n-1=2mh (h为奇数),我们要证明 h<2*3kn-1:

h=(2*3kn-1+3kn)/2m<2*3kn-1,令a=3kn,b=2m-1,则有 2ab>a+b,而这是显然的.

定义:以下我们将称呼上述的连续全变换紧接着连续的偶变换的从奇数到另外一个奇数的过程为一个变换链.

接着我们证明奇数经过一个变换链所得的奇数不可能是变换链中的任何中间结果,包括第一个奇数.

若以B(n)表示奇数n的变换次数,m是n经过变换首次遇到的其他奇数,则有。

定理三:B(n)=k+1+B(m),其中k是满足3n+1=2km的非负整数.

证明:n经过一次奇变换,再经过k次偶变换变成奇数m,得证.

举例来说,B(15)=2+B(23)=2+2+B(35)=2+2+2+B(53)=2+2+2+5+1+B(5)=2+2+2+5+1+5=17

按照角谷猜想的扩展部分,每一道扩展的题目都存在着相对应的几个归结定理。对于原题的文字描述是:文字描述是:首先把自然数中能被3或者是能被2整除的自然数都删除掉,剩下的自然数,按照第奇数个第偶数个分成2类,其中第奇数个奇数通项公式是:(6(n-1)+1)把这个式子乘于2^(2m)再减去1之后必定可以被3整除,而且得到的自然数全部是奇数。第偶数个奇数的通项公式是:(6(n-1)+5)把这个式子乘于2^(2m-1)再减去1之后必定可以被3整除而且得到的自然数全部都是奇数。

原题的归结定理公式描述就是:

((6(n-1)+1)*4^m-1)/3=x1

((6(n-1)+5)*2^(2m-1)-1)/3=x2

这是2个2维平面的变差数列,由2条互相垂直的射线组成的射面状的无穷变差数列。已经通过数学归纳法证明,公式成立,可以整除,而且得数全部都是奇数。如果把x1和x2都看成是集合,那么必定存在它们的交集必定是空集,它们的并集必定是全体奇数。等于说是把奇数分成2类,一类是x1,另外的一类是x2,再把以上2个式子移项以后就会得到:3x1+1=(6(n-1)+1)*4^m,和3x2+1=(6(n-1)+5)*2^(2m-1)。它们的威力在于,该定理可以描述所有的奇数的3x+1的以后和以前的情况....是逆向的描述....通过这个定理,我们可以非常容易地寻找,不能被3整除的奇数的所有上一步的直接归结的情况,以及和下一步的情况.。这个直接归结定理在分析冰雹猜想的过程中发挥着非常重要的作用。假设我被邀请去参加某次的数学成果研究大会,站在讲台上我就可以说任意给我一个不能被3整除的奇数我都能马上算出,它所有上一步的奇数,也就是在忽略偶数不记录的前提下的所有直接归结于这个奇数的奇数。文字描述是:首先把自然数中能被3或者是能被2整除的自然数都删除掉,剩下的自然数,按照第奇数个第偶数个分成2类,其中第奇数个奇数通项公式是:(6(n-1)+1)把这个式子乘于2^(2m)再减去1之后必定可以被3整除,而且得数是全部奇数。第偶数个奇数的通项公式是:(6(n-1)+5)把这个式子乘于2^(2m-1)再减去1之后必定可以被3整除而且得数全部都是奇数。

同时对于任意任何一个能被3整除的奇数,都绝对不存在上一步的奇数,都是顺冰雹猜想验证的最起始点的奇数,都是逆向冰雹猜想的终止点的奇数,跟最主归结点的1的情况刚好相反的.

根据普通的奇数与偶数的描述公式法,即偶数是2n,奇数是2n-1的描述办法并不符合冰雹猜想的运算。符合冰雹猜想的偶数归结于奇数的逆向描述公式是:偶数=f(m,n)=(2n-1)*2^m,这是描述偶数归结于奇数的另外一个公式。同样是一个2维的平面的数列。由2条互相垂直的射线组成的射面状的无穷数列。

原始克拉茨

二十世纪30年代,克拉茨还在上大学的时候,受到一些著名的数学家影响,对于数论函数发生了兴趣,为此研究了有关函数的迭代问题.

在1932年7月1日的笔记本中,他研究了这样一个函数:

F(x)= 2x/3 (如果x被3整除 或者 (4x-1)/3 (如果x被3除余1)或者 (4x+1)/3 (如果x被3除余2)

则F(1)=1,F(2)=3,F(3)=2,F(4)=5,F(5)=7,F(6)=4,F(7)=9,F(8)=11,F(9)=6,...为了便于观察上述迭代结果,我们将它们写成置换的形式:

1 2 3 4 5 6 7 8 9 ...

1 3 2 5 7 4 9 11 6 ...

由此观察到:对于x=2,3的F迭代产生循环(2,3)

对于x=4,5,6,7,9的F迭代产生循环(5,7,9,6,4).

接下来就是对x=8进行迭代,克拉茨在这里遇到了困难,他不能确知,这个迭代是否会形成循环,也不知道对全体自然数做迭代除了得到上述两个循环之外,是否还会产生其他循环.后人将这个问题称为原始克拉茨问题.现在人们更感兴趣的是它的逆问题:

G(x)= 3x/2 (如果x是偶数)或者 (3x+1)/4 (如果x被4除余1)或者 (3x-1)/4 (如果x被4除余3)

不难证明,G(x)恰是原始克拉茨函数F(x)的反函数.对于任何正整数x做G迭代,会有什么样的结果呢?

经计算,已经得到下列四个循环:

(1),(2,3),(4,6,9,7,5),(44,66,99,74,111,83,62,93,70,105,79,59).

因为G迭代与F迭代是互逆的,由此知道,F迭代还应有循环(59,79,105,70,93,62,83,111,74,99,66,44).

G迭代还能有别的循环吗?为了找到别的循环,人们想到了下面的巧妙方法:

由于G迭代使后项是前项的3/2(当前项是偶数时)或近似的3/4(当前项是奇数).如果G迭代中出现循环,比如迭代的第t项at与第s项as重复(t<s):at=as.但

as/as-1,as-1/as-2,...at+1/at

或等于3/2,或者近似于3/22,因而

1=as/at=as/as-1*as-1/as-2*...at+1/at≈3m/2n

这里 m=s-t,m < n

即 2n≈3m

log22n≈log23m

故 n/m≈log23

这就是说,为了寻找出有重复的项(即有循环),应求出log23的渐进分数n/m,且m可能是一个循环所包含的数的个数,即循环的长度.

log23展开成连分数后,可得到下列紧缺度不同的渐进分数:

log23≈2/1,3/2,8/5,19/12,65/41,84/53,485/306,1054/665,24727/15601,...

渐进分数2/1表明,31≈22,循环长度应为1.实际上恰存在长度为1的循环(1).

渐进分数3/2表明,32≈23,循环长度应为2.实际上恰存在长度为2的循环(2,3).

渐进分数8/5表明,35≈28,循环长度应为5.实际上恰存在长度为5的循环(4,6,9,7,5).

渐进分数19/12表明,312≈219,循环长度应为12,实际上恰存在长度为12的循环(44,66,...59).

这四个渐进分数的分母与实际存在的循环长度的一致性,给了人们一些启发与信心,促使人们继续考虑:是否存在长度为41,53,306,665,15601,...的循环?令人遗憾的是,已经证明长度是41,53,306的循环肯定不存在,那么,是否会有长度为665,15601,...的循环呢?

F迭代与G迭代究竟能有哪些循环呢?人们正在努力探索中!

数学原理:构造整域变换:x=3n+d,y=3n-d,z=n/2。

1. d=0,n=0,x=3×0+0=0,y=3×0-0=0,z=0/2=0。2.d=1,n=0,x=3×0+1=1,y=3×0-1=-1,z=0/2=0。3.当d属于Z,n属于N+时,x=3×1+d,y=3×1-d,z=n/2;当d属于Z,n属于N-时,x=3×(-1)+d,y=3×(-1)-d,z=n/2。(1)d属于Z,n属于N+。【1】(3×1+d1-1)/3=(3×1-d1)/2,d1=1;(3×1-d2-1)/3=(3×1+d2)/2,d2=-1。【2】(3×1-d3)/2=2(3×1+d3),d3=9/5;(3×1+d4)/2=2(3×1-d4),d4=-9/5。【3】3(3×1-d5)+1=2(3×1+d5),d5=4/5;3(3×1+d6)+1=2(3×1-d6),d6=-4/5。取d=1,则x=4,y=2,可得循环圈A=(4,2,1,4)。根据变换原则,n=1时满足3×1+1=4,3×1-1=2,可得循环圈F=(4,2,1,4)=A,因此可得循环圈(A,A)。因此正整域上的3n+1变换有且只有循环圈A=(4,2,1,4)。(2)d属于Z,n属于N-。由(1)可知n=-1时本变换等价于(1),因此d=1,x=-2,y=-4,可得循环圈B=(-1,-2,-1),因为-4不属于B,所以n=-1时不满足变换原则,因此取n=-2。【1】[3×(-2)-d7-1]/3=[3×(-2)+d7]/2,d7=4/5;[3×(-2)+d8-1]/3=[3×(-2)-d8]/2,d8=-4/5。【2】[3×(-2)-d9]/2=2[3×(-2)+d9],d9=18/5;[3×(-2)+d10]/2=2[3×(-2)-d10],d10=-18/5。【3】3[3×(-2)+d11]+1=2[3×(-2)-d11],d11=1;3[3×(-2)-d12]+1=2[3×(-2)+d12],d12=-1。取d=1,则x=-5,y=-7,可得循环圈C=(-5,-14,-7,-20,-10,-5),根据变换原则,取n=-14。【1】[3×(-14)-d13-1]/3=[3×(-14)+d13]/2,d13=8;[3×(-14)+d14-1]/3=[3×(-14)-d14]/2,d14=-8。【2】[3×(-14)-d15]/2=2[3×(-14)+d15],d15=126/5;[3×(-14)+d16]/2=2[3×(-14)-d16],d16=-126/5。【3】3[3×(-14)+d17]+1=2×[3×(-14)-d17],d17=41/5;3[3×(-14)-d18]+1=2[3×(-14)+d18],d18=-41/5。取d=8,则x=-34,y=-50,可得循环圈D=(-34,-17,-50,-25,-74,-37,-110,-55,-164,-82,-41,-122,-61,-182,-91,-272,-136,-68,-34),根据变换原则,取n=-17。【1】[3×(-17)-d19-1]/3=[3×(-17)+d19]/2,d19=49/5;[3×(-17)+d20-1]/3=[3×(-17)-d20]/2,d20=-49/5。【2】[3×(-17)-d21]/2=2[3×(-17)+d21],d21=153/5;[3×(-17)+d22]/2=2[3×(-17)-d22],d22=-153/5。【3】3[3×(-17)+d23]+1=2[3×(-17)-d23],d23=10;3[3×(-17)-d24]+1=2[3×(-17)-d24],d24=-10。取d=10,则x=-41,y=-61,可得循环圈E=(-41,-122,-61,…,-41)=D,因此可得循环圈(D,D),因此负整域上各个循环圈的变换终结于循环圈D,负整域上的3n+1变换有B,C,D3个循环圈。

结论:整域上的3n+1变换有A,B,C,D4个循环圈。

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